Эллипсоид

Определение 47.1 Эллипсоидомназывается поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению

(47.17)

При этом отрезки [0,a],[0,b] и [0,c] по осям абсцисс, ординат и аппликат называются полуосями эллипсоида, а отрезки [-a,a],[-b,b] и [-c,c] по этим же осям OX, OY и OZ называются его осями.

Эллипсоид -центральная поверхность; для эллипсоида, заданного уравнением (47.17), начало координат является его центром симметрии.

Общий вид эллипсоида изображён на рис.47.1

Рис. 47.1

Рис 47.2

Рис. 47.3

В случае a=b>с в уравнении (47.17) будет сжатый эллипсоид вращения (см.рис 47.2), который получается в результате вращения эллипса вокруг его малой оси, а условие a=b<c в (47.17) задаёт вытянутый эллипсоид вращения (см.рис.47.3), возникающий при вращении эллипса вокруг его большой оси.

Если же a=b=c=R с, то эллипсоид переходит в сферу радиуса R с центром в начале координат.

Общее уравнение сферы радиуса Rс центром в точке можно получить как геометрическое место точек , квадрат расстояния от которых до заданной точки есть величина постоянная и равная . Используя далее параграф 21(формула (21.3)), мы получим , что общее уравнение сферы имеет вид

(47.31)

Эллипсоид – ограниченная поверхность (и является единственной ограниченной невырожденной поверхностью второго порядка), ибо уравнению(47.17) могут удовлетворять лишь те значения x, y, z при которых , и . Поэтому в сечении эллипсоида любыми плоскостями можно получить только ограниченные линии второго порядка, которые, согласно параграфу 35 являются

-эллипс (получается в сечении эллипсоида плоскостью, пересекающей, но не касающейся его, как частный случай эллипса может получиться и окружность);

-одна точка (если секущая плоскость касается эллипсоида);

-пустое множество (в случае, когда плоскость не пересекает эллипсоид).