П Л А Н

Завдання додому.

1) Конспект; [1] с. 421 - 451;

[2] с. 325 – 339.

Питання для самоконтролю

1.Основні означення.

2. Задача Коші.

3. Неповні диференціальні рівняння.

Л Е К Ц І Я 28

Тема: Диференціальні рівняння першого порядку.

Мета: ознайомити з методами відокремлювання змінних, розв‘язку лінійних диференціальних рівнянь першого порядку.

Література: [1, с. 427-438]; [6, с. 438-443].

1. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.

2. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

1)

Якщо дане диференціальне рівняння можна записати у вигляді , то таке рівняння називається рівнянням з відокремлюваними змінними.

Приклад:

2)

- рівняння з відокремлюваними змінними.

Щоб розв’язати таке рівняння потрібно відокремити змінні, тобто функція при повинна залежати тільки від , а функція при - тільки від .

Для відокремлення змінних досить обидві його частини поділити на функцію

:

- з відокремленими змінними.

Це рівняння можна інтегрувати:

Приклад: ,

,

- загальний розв’язок (загальний інтеграл) рівняння, записаний в неявному вигляді.

2. Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду

, де

і - задані і неперервні на деякому проміжку функції.

Є кілька методів інтегрування цього рівняння. Один х них (метод Бернуллі) полягає в тому, що розв’язок цього рівняння шукають у вигляді добутку , де - невідомі функції , причому одна з цих функцій довільна (але не рівна тотожно 0).

Приклад:

, ;

+

Сгрупуємо доданки і винесемо спільний множник за дужки:

Один з множників виберемо так, щоб вираз в дужках дорівнював 0, тобто ;

, ,

- рівняння з відокремлюваними змінними.

,

, ;

Підставимо це значення в дане диференціальне рівняння:

,

, ;

=- загальний розв’язок рівняння