П Л А Н
Завдання додому.
1) Конспект; [1] с. 421 - 451;
[2] с. 325 – 339.
Питання для самоконтролю
1.Основні означення.
2. Задача Коші.
3. Неповні диференціальні рівняння.
Л Е К Ц І Я 28
Тема: Диференціальні рівняння першого порядку.
Мета: ознайомити з методами відокремлювання змінних, розв‘язку лінійних диференціальних рівнянь першого порядку.
Література: [1, с. 427-438]; [6, с. 438-443].
1. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.
2. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
1)
Якщо дане диференціальне рівняння можна записати у вигляді , то таке рівняння називається рівнянням з відокремлюваними змінними.
Приклад:
2)
- рівняння з відокремлюваними змінними.
Щоб розв’язати таке рівняння потрібно відокремити змінні, тобто функція при повинна залежати тільки від , а функція при - тільки від .
Для відокремлення змінних досить обидві його частини поділити на функцію
:
- з відокремленими змінними.
Це рівняння можна інтегрувати:
Приклад: ,
,
- загальний розв’язок (загальний інтеграл) рівняння, записаний в неявному вигляді.
2. Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду
, де
і - задані і неперервні на деякому проміжку функції.
Є кілька методів інтегрування цього рівняння. Один х них (метод Бернуллі) полягає в тому, що розв’язок цього рівняння шукають у вигляді добутку , де - невідомі функції , причому одна з цих функцій довільна (але не рівна тотожно 0).
Приклад:
, ;
+
Сгрупуємо доданки і винесемо спільний множник за дужки:
Один з множників виберемо так, щоб вираз в дужках дорівнював 0, тобто ;
, ,
- рівняння з відокремлюваними змінними.
,
, ;
Підставимо це значення в дане диференціальне рівняння:
,
, ;
=- загальний розв’язок рівняння