П Л А Н

Завдання додому

1. Конспект, підготовка до практичного заняття

[1] с. 191-222

[2] с. 176-194

2. Самостійна робота №8 “Задача про неперервне нарахування відсотків”

(2 год.) [2] с. 159-161

3. Самостійна робота №9 “Поняття про еластичність функції”

(2 год.) [2] с. 196-198

Питання для самоконтролю

1. Неперервність функції у=f (x).

2. Похідна функції. Геометричний та економічний зміст.

3. Основні правила диференціювання.

4. Таблиця похідних.

5. Похідна складної функції.

6. Означення диференціала та його зміст.

7. Інваріантність форми диференціала.

8. Застосування диференціала в наближених обчисленнях.

Л Е К Ц І Я 15

Тема: Дослідження функцій. Побудова графіків.

Мета: сформувати поняття екстремума функції, опуклості і вгнутості кривих, асимптоти кривої, ознайомити з схемою дослідження функції та побудовою графіка.

Література: [1, с. 246-266]; [6, с.249-254].

1. Екстремум функції.

2. Опуклість і вгнутість кривих.

3. Асимптоти кривої.

4. Схема дослідження функції та побудова графіка.

5 Видача індивідуального завдання.

1. Границя відношення двох функцій (у випадках невизначеності виду і при або ) дорівнює границі відношення похідних цих функцій.

(або ) (або )

Правило Лопіталя використовується з застосуванням особливих границь і властивостей границь.

Приклад:

=

2. Розглянемо функцію у= f (x), .

1) Функція називається зростаючою, якщо при х₂ > х₁ f (x₂) > f (x₁).

y

f (x₁) f (x₂)

0 x₁ x₂ x

2) Функція називається спадною, якщо при x₁ > x₂ f (x₂) < f (x₁).

y

f (x₁)

f (x₂)

0 x₁ x₂ x

Функція, яка або тільки зростає, або тільки спадає на деякому інтервалі, називається монотонною на цьому інтервалі.

Достатні умови монотонності функції.

1. Якщо в кожній точці інтервалу функція має додатню похідну, то в цьому інтервалі функція зростає, тобто нерівність є достатньою умовою зростання функції.

2. Якщо , то в інтервалі функція спадає.

3. Якщо в кожній точці інтервалу , то в цьому інтервалі функція постійна.

у

у=с

с

0 х

y

у=f (x) - гострий кут

0 x

3. Розглянемо функцію у= f (x), х.

х₀ – точка max, якщо значення функції в цій точці є найбільшим в порівнянні із значенням функції в деякому околі точки х₀ .

у

max

0 х₁ х₀ х₂ х

х₀ – називається точкою min, якщо значення функції в цій точці є найменшими в порівнянні із значенням функції в декому околі точки х₀ .

у

min

0 х₁ х₀ х₂ х

Необхідна умова існування екстремума (але не достатня).

Якщо в точці х₀ існує екстремум, то в цій точці похідна дорівнює 0 або не існує.

Ці точки називаються критичними (або стаціонарними).

y Геометрично: дотична в точці

max екстремуму паралельна осі О_х .

min

0 x₀ x₁ x

Але критичні точки не обов’язково являються точками екстремума.

Достатні умови існування екстремуму.

1) х₀ є точкою екстрeмума функції y= f (x), якщо при переході через цю точку похідна змінює знак:

якщо з “+” на “ – “ – точка max;

якщо з “ – “ на “+” – точка min.

2) х₀ є точкою екстремума, якщо і - точка max;

- точка min.

4. Загальна схема дослідження функцій та побудова графіків

І Дослідження функції y = f (x).

1) Область визначення функції, точки розриву, лівостороння і правостороння границі, вертикальні асимптоти.

2) Точки перетину графіка з осями координат.

3) Парність і непарність функції.

4) Похилі асимптоти графіка функції.

ІІ

1) Знаходження точок, в яких можливий екстремум (необхідна умова).

2) Достатні умови існування екстремума.

ІІІ

1) Знаходження точок перетину графіка (необхідні умови існування точок перетину).

2) Достатні умови існування точок перетину, інтервали опуклості і вгнутості графіка функції.

IV Поведінка функції на нескінченності, знаходження f (x).

V Побудова графіка.

Завдання. Методами диференціального числення дослідити функцію і побудувати її графік:

І Область визначення функції:

-1

- точка розриву функції.

Знайдемо односторонні границі:

(зліва)

(справа)

Односторонні границі не рівні між собою і не існують, значить в точці х= -1 функція має розрив другого роду.

х =-1 – рівняння вертикальної асимптоти.

х=-1 у Асимптота – пряма лінія, до якої

наближається графік функції, але не перетинає її.

-1 0 х

Асимптоти бувають вертикальні, похилі і горизонтальні.

2) З віссю О_у : при х=0 у (0)= (0; 0)

З віссю О_х : при у=0 (0; 0)

3) Якщо f (-x) = f (x), то функція парна (графік симетричний відносно осі О_у ).

Якщо f (-x) = -f (x), то функція непарна (графік симетричний відносно початку координат).

Якщо , то функція ні парна, ні непарна.

- функція ні парна, ні непарна.

4) Похилі асимптоти.

Рівняння похилих асимптот шукаємо у вигляді у=kx+b,

де k -=, b=.

k=

b=

у=х-1 – рівняння похилої асимптоти.

х=-1 у у=х-1

-1 0 1 х

-1

ІІ

=0

Знайдемо інтервали монотонності:

-2 -1 0 х

		- 2	(- 2; -1)	( -1; 0)
	+		-	-		+
		- 4

max min

ІІІ 1) =

=

2) Точкою перетину називається точка, яка відділяє опуклу частину графіка від вгнутої.

у

А А – точка перетину

0 х₀ х

Необхідні умови існування точки перетину

Якщо в точці х ₀ є перегин, то в цій точці або дорівнює 0, або не існує.

Якщо на деякому інтервалі < 0, то на цьому інтервалі графік функції опуклий; якщо > 0 – графік функції вгнутий.

Знайдемо точки, в яких може бути перегин: =0 коренів немає =

Точок перегину немає.

3) Знайдемо інтервал опуклості і вгнутості:

-1 х

х	(-; -1)	(-1; +)
	-	+
	опуклий	вгнутий

IV Поведінка функції на нескінченності.

0 0

0 0²

Горизонтальним асимптот функція не має (якщо k=0, то b=, тому у=b – рівняння горизонтальної асимптоти).

V Побудова графіка.

1) Будуємо асимптоти, точки екстремума і точки перетину, точки перетину графіка з осями координат.

2) Вітки графіка в інтервалах, де функція зростає і спадає, а також інтервали опуклості і вгнутості графіка.

у

0 х

-1