П Л А Н

Завдання додому.

1. Конспект; підготовка до практичного заняття.

2. [2] с. 70-76

Питання для самоконтролю

1. n-вимірні векторні простори.

2. Лінійна комбінація векторів.

3. Лінійно залежні та лінійно незалежні комбінації векторів.

4. Базисний мінор.

5. Базис.

6. Розклад вектора за даним базисом.

7. Ранг системи векторів

 


Л Е К Ц І Я 10

 

Тема: Пряма лінія на площині

Мета: ознайомити з різними видами рівнянь прямої на площині, кутом між двома прямими, відстанню від точки до прямої

Література: [1, с. 75-83]; [6, с. 131-142].

1. Різні види рівнянь прямої на площині.

2. Кут між двома прямими.

3. Відстань від точки до прямої.

 

1. Точка на площині характеризується двома координатами: абсцисою та ординатою (М (х; у)). Рівняння прямої містять координати х та у у першому степені.

1) у Нехай дана пряма на площині.

М1 М1 (х1; у1) – фіксована точка прямої.

М (х; у) – довільна точка прямої (змінна)

М

 

0 х

 

Вектор = (m; n) паралельний прямій.

Потрібно за цими даними скласти рівняння прямої.

Вектори і колінеарні, значить їх координати пропорційні.

= (х-х1; у-у1)

Умова колінеарності:

Канонічне рівняння прямої на площині

2) Перетворимо одержане рівняння прямої:

Відношення називають кутовим коефіцієнтом прямої =k

Рівняння прямої, яка проходить через т. М в
напрямі (напрям вказує k)

у

М1

 

0 х

 
 

 


- кут нахилу прямої до осі абсцис

k>0 – кут гострий, k<0 – тупий

3) Перетворимо одержане рівняння:

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

– ордината точки, в якій пряма перетинає вісь Оу

 
 


у

 

0 х

 

4) Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки.

у

М2 М1 (х1; у1)

М1 М2 (х2; у2)

 
 


0 х Запишемо рівняння прямої:

у-у1=к (х-х1)

у2-у1=к (х2-х1)

 

Так як М2 (х2; у2) лежить на прямій, то її координати задовольняють рівнянню прямої, тому замість х і у можна підставити координати т. М2 .

Розділимо обидві частини рівнянь і одержимо:

 

Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки

 

5) Загальне рівняння прямої

 
 


М1

М


=(А; В) прямій

позначимо С

 

Загальне рівняння прямої, де А і В – координати
  нормального вектора прямої, С – вільний член

 

Дослідження загального рівняння прямої

а) Нехай А=0, Ву+С=0 – пряма, паралельна осі Ох

 
 


у

0 х

 

б) Нехай В=0, Ах+С=0 – пряма, паралельна осі Оу

 

у

 

0 х

 

 

в) С=0, Ах+Ву=0 – пряма, проходить через початок координат

 
 


у

 

 

0 х

 


6) Рівняння прямої у відрізках на осях.

 

Рівняння прямої у відрізках на осях

у і - відрізки, які

віднімає пряма на осях Ох та Оу

 

0 х

 

2. Нехай дані рівняння двох прямих:

у

 

 
 


0 х

 

 

Якщо рівняння прямих задані в загальному вигляді Ах+Ву+С=0, то

 

Кутовий коефіцієнт

 


Умова паралельності прямих

 
 


у

 

1 2

0 х

 

, значить

 

Умова перпендикулярності прямих

1

 
 


900

2

 

( не існує)

3.

М0 (х0; у0) Нехай пряма задана рівнянням

Ах+Ву+С=0

 
 

 


М0 (х0; у0) – точка, яка не лежить на цій прямій.

Приклади:

1) Записати рівняння прямої, яка проходить через точку М (-1; 2) перпендикулярно прямій 2х-у+1=0


2) Загальне рівняння прямої записати у відрізках на осях і побудувати пряму:

y

2

-5 0 x

3) Записати рівняння прямої, яка проходить через точки М1 (-2; 5), М2 (3; 5)

- пряма, паралельна осі Ох

 

Додатково: Побудова система нерівностей.

Довільна пряма ділить площину на дві півплощини Ах+Ву+С=0

 

у Ах+Ву+Сабо Ах+Ву+С0 – ці нерівності,

описують множину точок, які належать

одній із півплощин

 
 


0 х

 

 

Для того, щоб побудувати шукану півплощину , потрібно:

1) побудувати пряму Ах+Ву+С=0;

2) з довільної півплощини вибрати точку з відомими координатами і ці координати підставити в нерівність. Якщо зміст нерівності зберігся, то нерівність описує ту півплощину, з якої була вибрана точка. Якщо зміст нерівності не зберігся, то нерівність описує другу півплощину.

 


у

       
   
 
 


3

2

-2

0 10 х

       
   
 


-5