П Л А Н

Завдання додому

1. Конспект, підготовка до практичного заняття

2. [2], с. 51-56

Питання для самоконтролю

1. Формули Крамера.

2. Дослідження систем лінійних неоднорідних рівнянь.

Л Е К Ц І Я 5

Тема: Розв’язування систем лінійних рівнянь за допомогою матриць

Мета: сформувати поняття оберненої матриці; розглянути розв’язування матричних рівнянь , а також розв’язування лінійних рівнянь за допомогою оберненої матриці.

Література: [1, с. 24-25]; [6, с. 72-74].

1. Обернена матриця.

2. Розв’язування матричних рівнянь

3. Розв’язування систем лінійних рівнянь за допомогою оберненої матриці.

1. Аналогічно поняттю оберненого числа в теорії чисел вводиться в лінійній алгебрі поняття оберненої матриці, але тільки для квадратних матриць.

Нехай дана квадратна матриця:

Матриця А^-1 називається оберненою до матриці А якщо при множенні цієї матриці на дану як справа так і зліва одержуємо одиничну матрицю Е:

Обернена матриця існує тільки для невиродженої матриці.

Приклад: Знайти обернену матрицю для матриці А:

Перевірка:

2. АХ=В, де А і В-задані матриці,

Х –невідома матриця

Помножимо обидві частини рівняння зліва на матрицю А^-1.

, тобто

так як

Приклад:

А В

Знайдемо А^-1:

А₁₁= 3 А₂₁= -4

А₁₂= -1 А₂₂= -2

Тоді:

Перевірка:

Відповідь:

б)

в)

3. Нехай дана система лінійних неоднорідних рівнянь:

введемо позначення:

основна матриця системи

Дану систему можна записати за допомогою введених позначень:

Звідси

Метод розв’язування систем лінійних рівнянь за допомогою оберненої матриці можна використовувати тоді, коли матриця А невироджена.

Приклад: Розв’язати систему за допомогою оберненої матриці:

, звідси

х=3, у=1, z=2

Перевірка:

Відповідь: х=3, у=1, z=2

Приклад:

система лінійних однорідних рівнянь

, ,

Так як , то система має 1 розв’язок (х=0, у=0, z=0).

Якби , то система мала б нескінченну множину розв’язків.