П Л А Н

1. Формули Крамера.

2. Дослідження систем лінійних неоднорідних рівнянь.

1. Розглянемо систему двох лінійних неоднорідних рівнянь з двома невідомими:

х та у –невідомі,

-коефіцієнти при невідомих,

та -вільні члени.

-Якщо невідомі системи в 1-му степені, то система називається лінійною

-Якщо хоча б один із вільних членів не дорівнює нулю, то система називається неоднорідною.

В чисельнику і знаменнику знаходяться

визначники 2-го порядку

Позначимо - головний визначник системи

- допоміжний визначник системи для невідомої х

Тоді

Виключивши із системи невідому х, одержимо, що

Тоді

Одержані формули для х та у називають формулами Крамера.

Приклад: Розв’язати систему за допомогою формул Крамера:

Перевірка –підставити в систему значення х та у:

2. Дослідження системи двох лінійних неоднорідних рівнянь з двома невідомими:

1) Якщо , то система має 1 розв’язок, який знаходиться за формулами Крамера.

2) Якщо , а (або ), то система не має розв’язків.

3) Якщо , то система має нескінченну множину розв’язків. В цьому випадку коефіцієнти при невідомих і вільні члени пропорційні. Значить, одне із рівнянь (довільне) можна відкинути, а рівняння, яке залишилось, розв’язати відносно довільного невідомого.

Приклад: 2х+3у=1 х=, де у -

2х=1 -3у (довільне)

Дослідження системи трьох лінійних неоднорідних рівнянь з трьома невідомими:

За формулами Крамера:

Приклад:

,

,

,

1) Якщо , то система має 1 розв’язок, який знаходиться за формулами Крамера.

2) Якщо , а хоча б один із , то система не має розв’язків.

3) Якщо , то система має або нескінченну множину розв’язків, або не має розв’язків.

Система буде мати нескінченну множину розв’язків, якщо одне із рівнянь системи є наслідком двох інших, або ж коефіцієнти при невідомих і вільні члени пропорційні.

Система не буде мати розв’язків, якщо коефіцієнти при відповідних невідомих пропорційні, а вільні члени не пропорційні.

Приклад:

Коефіцієнти при невідомих пропорційні, а вільні члени не пропорційні, значить система не має розв’язків (або несумісна).

Приклад

Перше рівняння є наслідком двох других, значить система має нескінченну множину розв’язків. Тому одне з рівнянь можна відкинути.

Загальний розв’язок

(довільне число)

Знайдемо частковий розв’язок

при z=2:

Додатково: Системи двох лінійних однорідних рівнянь з трьома невідомими

Всі вільні члени =0, значить система однорідна

Така система завжди має нескінченну множину розв’язків. Якщо одне з рівнянь не є наслідком другого, то множину розв’язків знаходять за формулами:

k- довільне число

Приклад:

,

Відповідь:

Якщо одне з рівнянь є наслідком другого, то система перетворюється в одне рівняння з трьома невідомими. З цього рівняння одне з невідомих виражають через інші:

Приклад: