Примеры вычисление определенных интегралов и решения дифференциальных уравнений с помощью рядов

Пример1. Так как , то при

, .

Можно показать, что этот ряд сходится и при . Тогда при

- формула для вычисления .

С помощью рядов иногда удобно вычислить интегралы, первообразные которых не являются элементарными функциями.

Пример 2. Вычислить интеграл .

Так как

,

То интегрируя получим

Ряды Тейлора, и вообще степенные ряды, часто используются для приближенного вычисления частного решения дифференциального уравнения.

Пример 3. Найти решение уравнения

,

Решение ищем в виде

Из начальных условий

Далее, подставляя в уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим

Следовательно .

Отсюда частное решение

Литература

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление, М.:Наука, 1988г.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.1,2 М.:Наука, 1985г.

3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1,2, М.: Высшая школа, 1981г.

4. Бронштейн И.Н.,Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров.М.: Высшая школа,1997 .