Ряд Тейлора

Вопросы

Ряды Тейлора.

Лекция 12

1Дайте определение ряда Тейлора.

2.Приведите примеры разложения функций в ряд Тейлора.

3.Дайте определение ряда Маклорена.

4.Разложите Функцию в ряд Маклорена

5. Решение ДУ и вычисление ОИ с помощью рядов

Пусть в некоторой окрестности т.имеет производную - го порядка. найдем многочлен , степени не выше , такой, что

(1)

Будем искать в виде

Найдя , и используя условия (14), получим

Пусть - остаточный член. Тогда можно показать, что можно записать в форме Лагранжа

(2)

Называется формулой Тейлора и дает возможность заменить функцию га многочлен с точностью равной . Если в (15) положить , получим формулу Маклорена .

Пример 1. Разложить по формуле Маклорена и вычислить число с точностью до .

При . Так как при , а при , то .

Пусть в окрестности т. дифференцируема бесконечное число раз. Тогда, считая сколь угодно большим, получим в правой части (15) степенной ряд. При каких условиях этот ряд имеет суммой ?

Теорема 5. Пусть функция а интервале бесконечное число раз дифференцируема и пусть . Тогда в

, (3)

Причем сходимость к в равномерная.

Ряд (3) называется рядом Тейлора, а при - рядом Маклорена. Отметим, что для каждой элементарной функции существует такое и , что в она разлагается в ряд Тейлора.