Еліптичний параболоїд.

Означення. Еліптичним параболоїдом називається поверхня, яка в деякій декартовій системі координат має канонічне рівняння вигляду

. (3.63)

Основні властивості:

1. Еліптичний параболоїд є алгебраїчна поверхня другого порядку.

2. Площини Оyz, Оzх є площинами симетрії параболоїда.

3. Параболоїд має з осями координат одну спільну точку – початок координат . Це вершина параболоїда.

Переріз площиною дає еліпс

, або

з півосями і . Отже, при перетину не буде, при одержимо точку (вершину параболоїда), а при маємо еліпс, розміри якого зростають при зростанні . Переріз площинами і дає параболи, і ми одержуємо поверхню, зображену на рис. 3.24.

Якщо , то маємо параболоїд обертання, утворений обертанням параболи навколо її осі симетрії.

6. Гіперболічний параболоїд.

Означення. Гіперболічним параболоїдомназивається поверхня, яка в деякій декартовій системі координат має канонічне рівняння вигляду

. (3.64)

Основні властивості:

1. Гіперболічний параболоїд є алгебраїчна поверхня другого порядку.

2. Площини Оyz, Оzх є площинами симетрії параболоїда.

3. Параболоїд має одну спільну точку з осями координат (вершина параболоїда).

Переріз гіперболічного параболоїда площиною приводить до рівнянь

Це рівняння гіперболи, дійсна вісь якої паралельна осі Ох, якщо , паралельна осі Оy, якщо . При одержуємо пару прямих, які перетинаються в початку координат. Переріз площиною дає параболу, спрямовану вітками вниз, а переріз площиною – параболу, спрямовану вгору. Таким чином, гіперболічний параболоїд має сідлоподібну форму, зображену на рис. 3.25. Можна показати, (див. нижче) що гіперболічний параболоїд, як і однополий гіперболоїд, “зітканий” з прямих ліній (прямолінійних твірних).