Відстань від точки до площини.

Нехай задано точку і площину (Р): .

Відстань d від точки М₁ до площини (Р) дорівнює довжині перпендикуляра , опущеного з точки М₁ на цю площину (рис. 3.8). Якщо – яка-небудь точка площини (Р), то ця відстань дорівнює абсолютній величині проекції вектора на напрям нормального вектора :

тому що , (ми використали формулу для проекції вектора на напрям іншого вектора з п. 2.5).

Точку було взято на площині (Р), отже підстановка її координат у рівняння площини дає вірну рівність

або ^.

Тоді остаточно

. (3.18)

Приклад 1.Знайти кут між площиною і площиною .

Розв’язання.Кут між площинами (Р₁) і (Р₂) знайдемо як кут між їх нормальними векторами і за формулою (3.15):

,

звідки .

Приклад 2.Знайти значення α та β, при яких площини і паралельні.

Розв’язання.Використаємо умову (3.16). Площини будуть паралельні, якщо буде виконуватись рівність

, тобто ; .

Звідси , .

Приклад 3.Знайти відстань від точки до площини .

Розв’язання.Відстань від точки М₁ до площини (Р) знайдемо за формулою (3.18):

.