Основные сведения о комплексных числах

Комплексным числом называется выражение вида

, (2.6)

где – обозначение комплексного числа; a и b – соответственно действительная и мнимая части комплексного числа; – мнимая единица.

Величины a и b часто обозначают следующим образом: a = Re, b = Im. Символы Re и Im – есть начальные буквы английских слов Real – действительный и Imaginary – мнимый.

Геометрически комплексное число изображается вектором на комплексной плоскости (рис. 2.8). Горизонтальная и вертикальная оси, отмеченные соответственно знаками + и +j, называются действительной (или вещественной) и мнимой. Действительная и мнимая составляющие комплексного числа представляют собой проекции вектора на эти оси. Рис. 2.8. Вектор на комплексной плоскости

На рис. 2.8 с = c c – модуль комплексного числа, равный длине вектора, а a = arg – аргумент комплексного числа. Так как а = c cosa , а
b = c sina , то = c (cosa +j sina ) –тригонометрическая форма комплексного числа. С помощью формулы Эйлера последняя преобразуется в показательную форму . Применяется еще и полярная форма , в самой простой форме задающая модуль и аргумент комплексного числа.

Свойства мнимой единицы (рис. 2.9): , , , , и т.д., . Рис. 2.9. Единичный вектор в комплексной плоскости

Два комплексных числа и называются сопряженными, если они имеют одинаковые модули и равные по величине, но разные по знаку аргументы (рис. 2.10):

, =. Изображающие их векторы симметричны относительно вещественной оси. Действия над комплексными числами. Сложение и вычитание производится над числами, записанными в алгебраической форме: Рис. 2.10. Сопряженные комплексные числа

=, т.е. складываются по отдельности вещественные и мнимые части слагаемых: а = а1+а2, b = b1+b2. Операции сложения комплексных чисел соответствует сложение изображающих их векторов.

Сумма сопряженных комплексных чисел равна удвоенному значению вещественной части:

+ =.

Умножение и деление комплексных чисел удобнее всего производить в показательной форме. Модули при этом перемножаются или делятся, а аргументы складываются или вычитаются:

(2.7)

где с = с1 с2,  a =a 1+a 2;

,

где , a =a 1 – a 2 .

Что происходит с векторами при перемножении комплексных чисел?

Изобразим на комплексной плоскости два вектора: 1 – первый сомножитель и – результирующий (рис. 2.11). Последний получается умножением 1 на комплексное число с2е ja 2.

На рис. 2.11 мы видим, что при умножении длина вектора возросла в с2 раз, а аргумент увеличился на a 2. Рассматривая комплексное число как вектор, мы приходим к следующему выводу. При умножении вектора на комплексное число ае ja , вектор растягивается в а раз и поворачивается на угол a . Рис. 2.11. Перемножение комплексных чисел

Так как , то при умножении вектора на ± j он поворачивается на угол ± 90° (рис. 2.12).

Произведение сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля комплексного числа: x , или Иногда приходится производить умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме. Перемножение выполняется по правилам умножения многочленов с учетом того, что j2 = -1 Рис. 2.12. Умножение вектора на ± j

=

.

При делении, чтобы получить результат, необходимо избавиться от мнимой единицы в знаменателе. Этого можно достичь умножением числителя и знаменателя на сопряженный знаменатель:

где ; .

2.6. Представление синусоидальных функций времени
комплексными числами

Пусть задано выражение синусоидального тока i = Imsin(w t+y ). Как мы видели раньше, этому выражению соответствует вектор, длина которого равна Im, а угол наклона к горизонтальной оси y . Если этот вектор изобразить в комплексной плоскости (рис. 2.13), то его можно обозначить комплексным числом , которое называется комплексной амплитудой тока. Рис. 2.13. Вектор тока на комплексной плоскости

Комплексное действующее значение тока получается делением последнего выражения на :

.

Здесь и дальше буквами с точкой над ними () обозначаются комплексные числа, представляющие синусоидальные функции времени. Это ток, напряжение и ЭДС. Комплексные сопротивление и проводимость обозначаются прописными буквами Z иY , а их модули строчными z и y. Комплексная мощность обозначается буквой S с волнистым значком ~ (тильда) над ней: .