Математичний маятник
Пружний маятник
Рівняння руху маятника під дією сили 
:
має розв'язок
; 
; 
.
Період малих коливань такого маятника
,
де 
– довжина маятника; 
– прискорення вільного падіння.
Фізичний маятник
Момент сили, що вертає, дорівнює
,
де 
– момент інерції відносно осі, що проходить через точку 0; – відстань між точкою підвісу і центром мас маятника; 
– сила, що вертає; 
відповідає малим коливанням маятника.
Рівняння фізичного маятника
; 
,
де 
.
Фізичний маятник здійснює коливання з циклічною частотою 
і періодом 
; 
,
де 
– приведена довжина фізичного маятника.
2. Диференціальне рівняння вільних згасаючих коливань лінійної системи
та його розв'язок
Величина 
, яка описує коливальний фізичний процес в лінійній системі, задовольняє диференціальному рівнянню:
,
де 
– коефіцієнт згасання (
– для механічних коливань і 
– для електричних коливань); 
– циклічна частота вільних коливань.
Розв'язок цього рівняння такий:
,
де 
– частота загасаючих коливань; 
– амплітуда згасаючих коливань.
Характеристики згасання такі: – коефіцієнт згасання; 
– час релаксації – це час, протягом якого амплітуда згасаючих коливань зменшиться в е раз.
Період згасаючих коливань 
.
Вимушені коливання
Для пружного маятника, на який діє змушуюча сила 
:
,
або, враховуючи те, що , 
,
.
Розв'язок цього рівняння:
,
де 
; 
.
Резонансна частота (
)
Ця частота визначається так:
,
звідки
.
Електричні коливання. Електричний коливальний контур
Згідно з законом Ома
,
де 
– напруга на резисторі; 
– напруга на конденсаторі; 
– е. р. с. самоіндукції. Отже
або
; 
; 
;
.
Це рівняння має такий розв'язок:
,
де 
.
Згідно з законом збереження енергії
.
ЛЕКЦІЯ 15
Вимушені коливання
1. Вимушені механічні коливання, диференціальне рівняння і його розв'язок. Характеристики вимушених коливань (частота, амплітуда, фаза)
Вимушені коливання – це незгасаючі коливання, що виникають під дією зовнішньої сили F
, яка періодично змінюється (F0 — амплітудне значення змушувальної сили).
Вимушені механічні коливання розглянемо на прикладі пружинного маятника.
Закон руху пружинного маятника. Для пружного маятника масою 
, який здійснює малі коливання під дією пружної сили 
, сила тертя пропорційна швидкості:
,
де 
– коефіцієнт опору; знак мінус вказує на протилежні напрями сили тертя і швидкості.
Отже, закон руху пружинного маятника з врахуванням змушувальної сили F,такий
.
З урахуванням того, що коефіцієнт згасання , а , отримаємо диференційне рівняння:
.
Розв'язок цього рівняння:
,
де амплітуда 
(1); фаза 
.
2. Механічний резонанс
Розглянемо явище механічного резонансу. Це явище має місце за частоти, коли амплітуда зміщення досягне максимума. Така частота називається резонансно частотою (
). Ця частота визначається з такої умови: : треба продиференціювати підкорінний вираз у формулі (1) по 
і прирівняти його нулю:
,
звідки
.
Визначимо поняття механічний резонанс. Механічний резонанс – це явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти змушувальної сили до частоти, яка дорівнює або наближається до власної частоти коливальної системи.
Резонансні криві – це криві залежності амплітуди А вимушених коливань від частоти при різних . При 
0 всі криві досягають одного і того ж самого, відмінного від нуля, граничного значення 
, яке називається статичнимвідхиленням (див. рис. 15.1).
Рис. 15.1
3. Вимушені електромагнітні коливання, диференціальне рівняння
і його розв'язок і характеристики
Вимушені коливання – це незгасаючі коливання, що виникають під дією зовнішньої напруги 
, що періодично змінюється.
Закон Ома для контура з R, L, С. З урахуванням прикладеної напруги
,
де – напруга на резисторі; 
– напруга на конденсаторі; 
– е.р.с. самоіндукції; .
Отже
.
Для виведення диференціального рівняння розділимо останнє рівняння на і підставимо 
, 
, 
; 
. В результаті отримаємо
;
Це рівняння має такий розв'язок:
,
де 
; 
; 
– зсув по фазі між зарядом і прикладеною напругою.
Сила струму у разі сталих коливань дорівнюватиме:
,
де
.
Таким чином, сила струму має такий вид:
де 
– зсув по фазі між струмом і прикладеною напругою. Тоді можна показати, що
.
4. Електричний резонанс і його використання в техніці
Розрізняють резонанс напруг і резонанс струмів. Розглянемо ці види резонансу докладніше.
Резонанс напруг (послідовний резонанс) може мати місце в колі змінного струму, що містить послідовно включені резистор, котушку індуктивності та конденсатор (див. рис. 15.2)
Рис. 15.2
Як видно з цього рисунка кут зсуву
визначає різницю фаз між струмом і напругою
.
З прямокутного трикутника випливає, що
,
звідки амплітудне значення сили струму
.
Якщо напруга в електричному колі змінюється по закону , то струм в цьому колі буде такий:
.
Величина
називається повним опором (імпедансом), а величина
(2)
реактивним опором.
Якщо в електричному колі з послідовно ввімкненими R, L, С
,
то, згідно з формулою
кут зсуву фаз між струмом і напругою стає таким, що дорівнює нулю: змінювання струму і напруги відбуваються синфазно. Умові (2) задовольняє резонансна частота:
.
В даному випадку повний опір Z = R і тому струм електричного кола визначається лише активним опором, приймаючи максимальні (можливі при даному 
) значення.
Резонанс напруг – це явище різкого зростання амплітуди сили струму в контурі при збігу циклічної частоти зовнішньої змінної напруги з власною частотою 0 коливального контура.
Резонанс виразно проявляється лише при малому активному опорі контура (див. рис. 15.3).
Рис. 15. 3
У випадку резонансу напруг 
, тобто однакові по амплітуді і протилежні по фазі (див. рис. 15.4).
Рис. 15.4
Резонанс струмів (паралельний резонанс).Цей резонанс може відбутися в колі змінного струму, що містить паралельно ввімкнені конденсатор ємністю С і котушку індуктивністю L (див. рис. 15.5).Прикладена до кола напруга U = Um cost. Активним опором обох гілок нехтуємо.
Рис. 15.5
Гілка 1 (в ній протікає струм І1)
(враховано, що R = 0 і L = 0).
,
, де n = 1, 2, ... .
Гілка 2 (в ній протікає струм І2)
(враховано, що R = 0 і C = 
).
,
, де n = 1, 2, ... .
Різниця фаз струмів в гілках: 
, тобто струми в гілках протилежні по фазі. Амплітуда сили струму в зовнішньому (нерозгалуженому) колі
.
Якщо 
, то 
і 
.
Резонанс струмів (паралельний резонанс)– це явище різкого зменшення амплітуди сили струму в зовнішньому ланцюзі, що живить паралельно включені конденсатор і катушку індуктивності, при наближенні частоти з прикладеної напруги до резонансної частоти з .
Амплітуда сили струму виявилася рівною нулю, тому що активним опором контура нехтуємо. Якщо врахувати опір R, то різниця фаз не буде дорівноювати 
, тому при резонансі струмів амплітуда сили струму буде відмінна від нуля, але прийме якнайменше можливе значення.
Автоколивання. Параметричний резонанс. Їх використання в техніці
В техніці в ряді випадків важливо підтримувати коливання незгасаючими. Для цього необхідно заповнювати втрати енергії реальної коливальної системи. Це досягається шляхом неперервного поповнення втрат в такій системі. Особливо важливими і широко застосовуваними в практиці є так звані автоколивання – незгасаючі коливання, які підтримуються в дисипативній системі за рахунок постійного діючого зовнішнього джерела енергії, причому властивості цих коливань визначаються самою системою.
Автоколивання принципово відрізняються від вільних незгасаючих коливань, що відбуваються без дії сил, а також від вимушених коливань, що відбуваються під дією періодичної сили. Автоколивальна система сама управляє зовнішніми діями, забезпечуючи узгодженість надходження енергії певними порціями в потрібний момент часу (в такт з її коливаннями).
Приклад автоколивальної системи – годинник, у якого храповий механізм підштовхує маятник в такт з його коливаннями. Енергія, що передається при цьому маятнику, поповнюється або за рахунок пружини, що розкручується, або за рахунок вантажу, що опускався. Коливання повітря в духових інструментах і органних трубах також виникають внаслідок автоколивань, підтримуваних повітряним струменем.
Автоколивальними системами є також двигуни внутрішнього згоряння, парові турбіни, ламповий генератор та ін.