НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ГОДОВЫХ ПРОЦЕНТОВ

Модели сложных процентов отличаются от моделей простых процентов базой () начисления процентов.

Напомним, что по схеме простых процентов процентная ставка применялась к первоначальной сумме инвестированного капитала.

По схеме сложных процентов процентная ставка применяется к наращенной сумме («проценты на проценты»). После очередного интервала начисления процентов доход (то есть начисленные за данный интервал проценты) присоединяется к денежной сумме , имеющейся на начало нового интервала.

Происходит капитализация процентов, т.е. присоединение начисленных процентов к их базе. Следовательно, база, с которой начисляются сложные проценты, является переменной и все время возрастает.

Способ начисления сложных процентов (как и в случае применения простых процентных ставок) может быть декурсивным (начисление процентов в конце интервала начисления) и антисипативным (проценты начисляются в начале интервала начисления).

Дадим пояснения.

Пусть на начало срока ссуды известно:

- первоначальная сумма инвестированного капитала,

- годовая ставка сложных процентов,

- срок ссуды в годах.

Номер интервала	Сумма на начало интервала (база для начисления процентов)	Проценты на базу (доход)	Наращенная сумма на конец интервала начисления = = (сумма на начало интервала) + (проценты)
…	…	…	…

К концу 1-го года наращенная сумма на базу составит

= (сумма на начало интервала начисления) + (проценты)= ,

т.е. .

Величина - база для начисления сложных процентов на 2-й год.

Прошел еще один год (то есть вклад лежит уже 2 года). Тогда наращенная сумма после двух лет составит

= (наращенная сумма после одного года) + (проценты)= =.

К концу 2-го года наращенная сумма на базу составит

.

Величина - база для начисления сложных процентов на 3-й год.

И так далее.

На начало -го года наращенная сумма равна , она и является базой для начисления сложных процентов на -й год.

В конце -ого года наращенная сумма составит .

Последовательность наращенных сумм по сложным процентам образует геометрическую прогрессию , , , ... , с первым членом и знаменателем .

· Наращенная сумма по годовой ставке сложных ссудных процентовза летравна

. (1)

· Множитель наращения по сложным процентам

(2)

показывает, во сколько раз возрастает за лет сумма , положенная в банк под сложных процентов годовых.

Множитель характеризует будущую стоимость 1 ден. единицы через лет при годовой ставке сложного процента .

Заметим, что в схеме сложных процентов приращение капитала равно

(3)

и не пропорционально ни сроку ссуды , ни ставке процента .

Представим схематичный график функции наращенной суммы по сложным процентам.

, ден. ед.

1 2 годы

Рисунок 1 - График функции наращенной суммы по сложным процентам

Пример 1.Сумма рублей инвестирована на три года под сложных годовых процентов.

Решение

По условию задачи, руб., , года.