Эквивалентные б.м. и основные теоремы о них
Если 
, то то α и β называются эквивалентными бесконечно малыми (при 
). Это обозначается: α~β.
Пусть α~α´ и β~β´ при .
Теорема. Предел отношения двух б.м.ф. не изменится если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой
.
Теорема. Разность двух эквивалентных б.м.ф. есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.
Теорема. Сумма конечного числа б.м.ф. разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Важнейшие эквивалентности (31)
1. 
sinx~x при 
;
2. tgx~x при ;
3. arcsinx~x при ;
4. arctgx~x при ;
5. 1-cosx~
при ;
6. ex-1~x при ;
7. ax-1~x ln a при ;
8. ln(1+x)~x при ;
9. 
~
при ;
10. (1+x)k -1~kx, k>0 при ;
в частности, 
~
.
Задание. Найти предел: 1) 
; 2) 
.
14. Символы «о» и «О»
Введём обозначения:
α(х)=О(β(х)) - бесконечно малые одного порядка,
α(х)=о(β(х)) - α есть бесконечно малая более высокого порядка, чем β.
aОтметим, что ах - бесконечно большая (при а>1 и х
) более высокого порядка, чем xk для любого k,
logax - бесконечно большая низшего порядка, чем любая степень хk.