Числовые множества. Границы числовых множеств

В математическом анализе мы будем работать с переменными величинами. Переменная величина считается заданной, если известно множество всех значений, которые она принимает.

Понятие множества мы давали в курсе «Алгебры и геометрии». Кто помнит ? ( Множеством называется совокупность предметов, объединенных каким-либо общим признаком).

Множества могут быть различными, но мы рассмотрим те из них, которые называются сегментами и интервалами.

О.1.1. Интервалом или открытым промежутком называется множество чисел , удовлетворяющих неравенству , где и - действительные числа.

Обозначаться может и иначе : .

О.1.2. Сегментом или замкнутым промежутком (отрезком) называется множество чисел , удовлетворяющих неравенству .

Часто приходится иметь дело с множествами чисел, удовлетворяющих неравенствам: , , т.е. с полуинтервалами полусегментами.

Говорят, что множество ограничено сверху (снизу), если существует такое число , что для всех выполняется неравенство .

Число называется верхней (нижней) гранью множества .

Пример:

- точная верхняя грань множества ;

;

- точная нижняя грань множества ;

.

О.2.3. окрестностью точки называется такое множество, что для всех выполняется неравенство , где - радиус окрестности.

Примеры: а)

б) круг радиуса

О.2.4. - окрестность точки называется проколотой, если она не содержит саму точку , т.е.

.

Некоторые из этих понятий мы ввели при изучении топологических и метрических пространств в разделе «Алгебра и геометрия».

Перейдем к основному вопросу лекции – понятию функции.