Элементарные функции комплексной переменной.

Экспонента и при комплексных z сохраняет свои основные свойства

.

Формула Эйлера справедлива и для комплексных чисел z. Это будет показано позже. Используя четность cosz, chz и нечетность sinz, shz, (для комплексных z это тоже будет показано позже), получим формулы связи экспоненты с с тригонометрическими и гиперболическими синусами и косинусами. . Складывая и вычитая , получим

.

Гиперболические косинус и синус определяются аналогично функциям действительной переменной

.

Отсюда .

Получим формулы связи тригонометрических и гиперболических косинусов и синусов.

Покажем, что функции - функции периодическиес периодом .

,

имеют тот же период , так как они являются линейной комбинацией - периодических функций с периодом .

Покажем, что функции - функции периодическиес периодом .

.

имеют тот же период , так как они являются линейной комбинацией - периодических функций с периодом .

Упражнение. Выведите формулы

,

используя свойства экспоненты и полученные выше формулы.

Пример. Вычислить sin (+5i), tg ()

sin (+5i) = sincos5i + cossin5i = sin5i = ch5