Разложения в ряд Фурье функций, заданных на отрезке .

Выше были получены формулы коэффициентов ряда Фурье при разложении в ряд функции, заданной на отрезке (или периодических функций с периодом ).

Выведем формулы коэффициентов ряда Фурье при разложении в ряд функции, заданной на отрезке .

Если функция задана на отрезке (или периодическая с периодом ), то функция имеет период (первое свойство периодических функций). Поэтому ее можно разложить в ряд Фурье для функции с периодом .

= .

, , .

Сделаем в этих формулах замену переменных

, , .

= (в точках непрерывности функции).

В точках разрыва функции . Возвращаясь к переменной x, заменяя формально t на x, получим формулы коэффициентов ряда Фурье при разложении в ряд функции, заданной на отрезке .

, , .

= (в точках непрерывности функции).

В точках разрыва функции .

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию , не вычисляя коэффициенты ряда Фурье.

Функция непрерывна, по теореме Дирихле

,

,

,

,