Прямая. Взаимное положение прямых.

4.1 Задание прямой в пространстве

Любая прямая в пространстве может быть задана:

· двумя точками, принадлежащими этой прямой;

· одной точкой, принадлежащей данной прямой, и ее направлени­ем.

В первом случае задаются координаты двух заданных точек, во втором - координаты одной точки и направление прямой.

4.2 Положение прямой в пространстве

Положение прямой в пространстве оценивается расположением ее относительно трех плоскостей проекций. При этом возможны сле­дующие варианты.

4.2.1 Прямая не параллельна ни одной из плоскостей проекций. Такую прямую называют прямой общего положения (рисунок 4.1). Все точки прямой имеют различные координаты х, у, z, и ее проекции не параллельны осям проекций х, у, z.

Рисунок 4.1

4.2.2 Прямая параллельна одной из плоскостей проекций. Все точ­ки прямой имеют одну постоянную координату x, y или z. При этом одна из проекций прямой параллельна какой-то оси проекции. Такую прямую называют линией уровня (рисунок 4.2).

Рисунок 4.2

На рисунке 4.2, а прямая а параллельна плоскости П₁, в этом случае ее фронтальная проекция а₂ параллельна оси х, координата z для всех точек прямой постоянна.

На рисунке 4.2, б прямая b параллельна плоскости П₂, в этом слу­чае ее горизонтальная проекция в₁ параллельна оси х, координата у для всех точек постоянна.

На рисунке 4.2, в прямая с параллельна плоскости П₃, в этом слу­чае ее горизонтальная проекция с₁ параллельна оси у, фронтальная проекция с₂ параллельна оси z, координата x для всех точек прямой постоянна. Данную прямую в системе плоскостей проекций П₂/П₁ следует задавать проекциями отрезка АВ.

4.2.3 Прямая параллельна двум плоскостям проекций, т.е. перпен­дикулярна к третьей плоскости проекций. Все точки прямой имеют две постоянные координаты х, у; хz или zу. На одну из плоскостей проек­ций прямая проецируется в точку. Такую прямую называют проеци­рующей прямой (рисунок 4.3). На рисунке 4.3, а прямая а параллельна плоскостям П₂ и П₃ и перпен­дикулярна к плоскости П₁. Координаты х и у всех точек прямой по­стоянны. На горизонтальную плоскость проекции П₁ прямая а про­ецируется в точку.

Рисунок 4.3

На рисунке 4.3, б прямая b параллельна плоскостям П₁ и П₃ и перпен­дикулярна к плоскости проекции П₂. Координаты х и z всех точек по­стоянны. На фронтальную плоскость П₂ прямая b проецируется в точ­ку.

На рисунке 4.3, в прямая с параллельна плоскостям П₁ и П₂ и перпен­дикулярна к плоскости проекции П₃. Координаты у и z, всех точек прямой, постоянны. На профильную плоскость П₃ прямая с проециру­ется в точку.

4.2.4 Принадлежность точки прямой

Признаком принадлежности точки прямой является принадлеж­ность проекций точек одноименным проекциям прямой (рисунок 4.4).

Рисунок 4.4 Рисунок 4.5

Точка А принадлежит прямой т, так как одноименные проекции точки А расположены на одноименных проекциях прямой т (А₁Є m₁, А₂ Є m₂).

4.3 Следы прямой

Следом прямой называется точка пересечения прямой с плоско­стью проекции. Горизонтальным следом прямой называют точку пе­ресечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций (рисунок 4.5). Горизонтальный след на данном рисунке обозначен Н.

При этом, координата z точки Н равна нулю. Следовательно, для нахождения горизонтально­го следа прямой на ней определяют точку Н с нулевой координатой z (рисунок 4.5).

Фронтальным следом прямой называют точку пересечения пря­мой с фронтальной плоскостью проекции (рисунок 4.5). Обозначают фронтальный след буквой F на данном чертеже. Координата у точки F равна нулю. Сле­довательно, для нахождения фронтального следа F прямой на ней оп­ределяют точку, имеющую нулевую координату у.

Профильным следом прямой называют точку пересечения прямой с профильной плоскостью проекции. Обозначают профильный след буквой Р. Координата х точки Р равна нулю.

Пересекая плоскости проекций, прямая переходит из одной чет­верти пространства в другую. Линия общего положения может пройти через три четверти пространства; линия уровня и проецирующая ли­ния — через две четверти.

4.4 Длина отрезка прямой и углы наклона прямой
к плоскостям проекции

Отрезок прямой, параллельной какой-либо плоскости проекции, проецируется на данную плоскость без искажения (в натуральную величину) (рисунок 4.6).Так, отрезок АВ параллелен плоскости П₁ (рисунок 4.6, а), следова­тельно, длина отрезка равна его горизонтальной проекции A₁B₁. Угол между осью х и горизонтальной проекцией отрезка определяет угол наклона отрезка АВ к плоскости П₂.

Рисунок 4.6

Отрезок CD параллелен плоскости П₂(рисунок 4.6, б), следовательно, длина отрезка равна его фронтальной проекции C₂D₂.Угол а опреде­ляет угол наклона отрезка CD к плоскости П₁.

Отрезок EFпараллелен плоскости Пз(рисунок 4.6, в), следовательно, длина отрезка равна его профильной проекции E₃F₃.Углы наклона отрезка к плоскостям П₁ и П₂ определяют соответственно углы и .

Если отрезок не параллелен плоскостям проекции, то для опреде­ления натуральной величины его и угла наклона к плоскости проек­ции необходимо выполнить дополнительные построения: построить вспомогательный прямоугольный треугольник, один катет которого равен проекции отрезка на плоскость П₁или П₂, а другой - разности удалений концов отрезка от той плоскости, на которой строится тре­угольник (рисунок 4.7).

Один катет вспомогательного треугольника равен горизонтальной проекции отрезка A₁B₁а другой – В₁B₀ - разности координат z концов отрезка (точек А и В). Гипотенуза А₁В₀ определяет действительную длину отрезка АВ. Угол а при вершине А₁ определяет угол наклона отрезка АВ к плоскости П_1.

Рисунок 4.7

4.5 Взаимное положение прямых в пространстве

Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересе­кающимися или скрещивающимися. Если две прямые параллельны, то их одноименные проекции взаимно параллельны (рисунок 4.8). Если две прямые пересекаются, то точки пересечения одноименных проек­ций принадлежат одной линии связи (рисунок 4.9). В частном случае пе­ресекающиеся прямые могут быть перпендикулярными.

Рисунок 4.8 Рисунок 4.9

Если две прямые не параллельны и не пересекаются, т.е. не лежат в одной плоскости, то они являются скрещивающимися (рисунок 4.10).

Взаимное положение двух прямых при наличии профильной пря­мой устанавливается по третьей проекции или каким-либо иным спо­собом. На рисунок 4.11 изображены две скрещивающиеся прямые, хотя их горизонтальные и фронтальные проекции пересекаются, а про­фильные — параллельны между собой.

Рисунок 4.10 Рисунок 4.11

Теорема о проецировании прямого угла. Для того чтобы прямой угол проецировался в виде прямого угла, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, одна его сторона была параллельна плоско­сти проекции, а вторая сторона не перпендикулярна к ней (рисунок 4.12).

Рисунок 4.12