Ранг матрицы. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера- Капели.

П 4.1 Понятие ранга матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу, содержащую m строк и n столбцов

Можно из элементов этой матрицы составить различные миноры 1,2,3… m порядка.

Определение:

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля ее минора.

Если – это означает, что в матрице А нашелся минор k-го порядка отличный от нуля, а все миноры (k+1) ( k+2) равны нулю. Если r(A)=0 А нулевая матрица.

Лемма: если все миноры k-го порядка равны нулю то все миноры равны нулю.

П 4.2 Свойства ранга матрицы

1). При транспонировании матрицы ранг не меняется.

2). Ранг не меняется при перестановке любых строк (столбцов) матрицы.

3). Ранг не меняется если из матрицы удалить нулевую строку (столбец).

4). Ранг не меняется если удалить строку (столбец) являющуюся линейной комбинацией строк (столбцов). Следствие: ранг не меняется ели у матрицы удалить все одинаковые строки(столбы) кроме одной.

5). Ранг не меняется если элементы строк (столбцов) умножить или разделить на одно и то же число.

6).Ранг не меняется если к элементам какой то строки(столбца) прибавить элементы другой строки(столбца) умноженное на одно и то же число.

П 4.3 Исследование систем линейных уравнений с помощью ранга (теорема Кронекера - Капели)

Пусть имеется система m линейных уравнений с n неизвестными.

Матрица составленная из коэффициентов при неизвестных в левой части называется обычной матрицей системы.

Расширенная матрица- это обычная матрица с добавлением столбца свободных членов.

Теорема Кронекера - Капели:

Для совместимости системы линейных уравнений вида (4.1) не обходимо и достаточно что бы ранги обычной и расширенной матрицы были равны между собой.

Система имеет единственное решение если ранги обычной равны расширенной матрицы и равны числу неизвестных.

Если ранг обычной равен расширенной, но меньше числа не известных, то решение бесконечное число.

§5 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Метод Гаусса является универсальным решением систем линейных уравнений (метод последовательного исключения неизвестных).

Суть метода.

1. На первом этапе из всех элементов системы исключают не известные х1 кроме первого

уравнения.

2. На втором этапе исключают х2 из всех уравнений кроме первого и второго уравнения.

3. На третьем этапе исключают х3 из всех уравнений кроме первого, второго и третьего уравнений и т.д.

В конечном итоге система приводится к треугольному или трапецеидальному виду.

4. Поднимаясь с низу в верх находят все значения неизвестных.

При решении методом Гаусса производят исследования, если в результате преобразования не получилось противоречивой строки, то система совместна и если она приведена к треугольному виду то имеет одно решение, если к трапецеидальному то она имеет бесконечное решение.

Противоречивая строка:

При решении методом Гаусса можно выполнить следующие преобразования:

1. Можно строки матрицы и уравнения системы переставлять.

При перестановке столбцов нужно обязательно сменить нумерацию неизвестных.

2. Можно все строки матрицы и уравнения системы сокращать на общий множитель, по столбам матрицы сокращать нельзя.

3. Можно вычеркивать нулевую строку(расширенную).

4. Можно выбрасывать все одинаковые строки кроме одной.

5. Можно любую строку умножать на какое либо число и прибавлять к какой либо строке.