Модульная арифметика
Решение
Пример
Общие решения
Частное решение
Если d|c, то можно найти частное решение вышеупомянутого уравнения, используя следующие шаги.
1. Преобразуем уравнение к a1x + b1y = c1, разделив обе части уравнения на d. Это возможно, потому, что d делит a, b, и c в соответствии с предположением.
2. Найти s и t в равенстве a1s + b1t = 1, используя расширенный алгоритм Евклида.
3. Частное решение может быть найдено:
Частное решение: X0 = (c/d)s и y0 = (c/d)t
После нахождения частного решения общие решения могут быть найдены:
Общие решения: x = x0 + k(b/d) и y = y0 – k(a/d), где k — целое число
Найти частные и общие решения уравнения 21x + 14y = 35.
Мы имеем d = НОД (21, 14) = 7. При 7|35 уравнение имеет бесконечное число решений. Мы можем разделить обе стороны уравнения на 7 и получим уравнение 3x + 2y = 5. Используя расширенный алгоритм Евклида, мы находим s и t, такие, что 3s + 2t = 1. Мы имеем S = 1 и t = –1. Решения будут следующие:
Частное решение : x0 = 5 × 1=5 и y0 = 5 × (–1) = -5 тогда 35/7 =5
Общие: x = 5+ k × 2 y= –5 – k × 3 где k — целое
Поэтому решения будут следующие (5, –5), (7, –8), (9, –11)...
Мы можем легко проверить, что каждое из этих решений удовлетворяет первоначальному уравнению.
Уравнение деления (), рассмотренное в предыдущей секции, имеет два входа (a и n) и два выхода (q и r). В модульной арифметике мы интересуемся только одним из выходов — остатком r. Мы не заботимся о частном q. Другими словами, когда мы делим a на n, мы интересуемся только тем, что значение остатка равно r. Это подразумевает, что мы можем представить изображение вышеупомянутого уравнения как бинарный оператор с двумя входами a и n и одним выходом r.