Решение

Пример

Исследовать на возрастание и убывание функцию .

Решение.

Найдем производную , при .

+ – + у¢

–1 0 1 у

Итак, функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке .

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , включая и саму точку .

Определение. Функция во внутренней точке области определения имеет локальный максимум (минимум), если найдется такая окрестность точки , в которой наибольшее (наименьшее) среди значений этой функции, т.е. для всех х из указанной окрестности.

Точка называется точкой максимума или минимума, а значение функции в этой точке максимумом или минимумом функции и обозначается:

Термин «локальный» (относительный) экстремум обусловлен тем, что введенное понятие экстремума связано с окрестностью данной точки в области определения, а не со всей этой областью. В дальнейшем слово «локальный» будем для краткости опускать.

Необходимые условия экстремума.

Теорема. Если функция в точке имеет локальный экстремум, то она в этой точке либо не дифференцируема, либо имеет в этой точке производную, равную нулю .

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными.

Точки, в которых и точки, в которых функция не дифференцируема, называются критическими.

Достаточные условия экстремума.

1-ый достаточный признак(первое правило исследования функции на экстремум)

Теорема 1. Пусть для функции точка является критической и пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки . Тогда, если при переходе через точку производная меняет знак, то функция в точке имеет локальный экстремум. Если при этом знак меняется с «+» на « – », то в точке имеет локальный максимум; если же знак меняется с «–» на «+», то в точке имеет локальный минимум.