Дисперсія функції випадкових величин

Випадкова величина Y є функцією системи випадкових величин

(Х₁ , Х₂ , …, Х_п)

Y = f( Х₁, Х₂ , …, Х_п).(53)

В загальному вигляді дисперсія функції Y дорівнює

D_у = М [(Y – M_y )²]. (54)

Якщо функція (53) нелінійна, то для діапазону практично можливих значень аргументів вона може бути з достатньою точністю лінеарізована за формулою

Y = f(Х₁, Х₂, …, Х_п) » f(+, (55)

де – значення часткової похідної, визначеної за значеннями Х_і, що співпадають з їх математичними сподіваннями.

Підставимо значення у і М_y із формул (55) і (52) в формулу (54), тоді

-= М. (56)

Після піднесення в квадрат і розкриття формули (56) маємо

.

Відомо, що ;

,

тоді

, (57)

так як K_ij = r_ij ,

то . (58)

Якщо випадкові величини системи (Х₁, Х₂, ..., Х_п)некорельовані (r_ij = 0), то дисперсія функції у = f (Х₁, Х₂, ..., Х_п) дорівнює

. (59)