Решение
Пример
Найти оригинал для изображения 
.
Представим 
в виде произведения двух функций: 
.
.
Как известно 
, тогда по теореме о свертке
.
Пусть 
. Имеет место формула
.
Правую часть этой формулы называют интегралом Дюамеля. Интеграл Дюамеля может быть использован при интегрировании ДУ.
При отыскании оригинала в простейших случаях используют таблицу оригиналов и их изображений и простейшие свойства преобразования Лапласа. Для этого заданные изображения нужно преобразовать к линейной комбинации табличных изображений.
Если изображение является правильной рациональной дробью, то эту дробь раскладывают на сумму простейших дробей и находят оригиналы для каждой простейшей дроби.
Пример Найти оригинал, если его изображение 
.
Решение.
.
Таблица свойств преобразования Лапласа
| Оригиналы | Изображения | ||
| Название операции | Выражение для операции | Название операции | Выражение для операции |
| Умножение на число. | 
| Умножение на число. | 
|
| Сложение | 
| Сложение | 
|
| Умножение аргумента на число | 
| Деление функции и аргумента на число | 
|
| Правый сдвиг |  ,
| Умножение на экспоненту | 
|
| Умножение на экспоненту | 
| Смещение по аргументу | 
|
| Умножение на (–t) | 
| Дифференцирование | 
|
| Деление на t | 
| Интегрирование | 
|
| Дифференцирование | 
| Умножение на р и вычитание начального значения | 
|
| Интегрирование | 
| Деление на р | 
|
| Свертка | 
| Умножение | 
|
Выводы.
1. Теоремы о дифференцировании и интегрировании оригиналов позволяют действия дифференцирования и интегрирования оригиналов заменить на алгебраические действия соответственно умножения и деления изображений на р.
2. Сверткой функций 
и 
принадлежащих пространству 
называется функция, которая обозначается 
, значения которой вычисляются по правилу 
.
3. При свертывании оригиналов их изображения умножаются.