Решение
Решение
Решение
Сила взаимодействия F заряженного стержня с точечным
зарядом Q1 зависит от линейной плотности заряда τ на
стержне. Зная эту зависимость, можно определить τ.
При вычислении силы следует иметь в виду, что заряд на
стержне не является точечным, поэтому закон Кулона
непосредственно применять нельзя. В этом случае можно
поступить следующим образом. Выделим на стержне малый
участок dr с зарядом dQ=τdr (см рисунок).
Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда,
согласно закону Кулона,
1
2
0 4
dF Q dr
r
.
Интегрируя это выражение в пределах от a до a+l , получаем
1 1 1
2
0 0 0
1 1
4 4 4 ( )
a l
a
F Q dr Q Q l
r a a l a a l
,
откуда
0
1
4 a(a l)F
Q l
.
Произведём вычисления:
dr r
l a
Q1
32
2,5109Кл / м 2,5нКл / м .
Пример 3. Два точечных электрических заряда Q1=1нКл и
Q2=-2нКл находятся в воздухе на расстоянии d =10 см друг от
друга. Определить напряжённость Е и потенциал φ поля,
создаваемого этими зарядами в точке А, удалённой от заряда
Q1 на расстоянии r1= 9 см и от заряда Q2 на r2= 7 см.
Согласно принципу суперпозиции электрических полей,
каждый заряд создаёт поле независимо от присутствия в
пространстве других зарядов. Напряжённость Е
электростати-
ческого поля в искомой точке может быть найдена как
геометрическая сумма напряжённостей 1 Е
и 2 Е
полей, создава-
емых каждым зарядом в отдельности: 1 2 Е Е Е
.
Напряжённости электростатического поля, создаваемого
в воздухе (ε = 1) зарядами Q1 и Q2,
1
1 2
0 1 4
Q
Е
r
, (1)
2
2 2
0 2 4
Q
Е
r
. (2)
Вектор 1 Е
направлен по силовой линии от заряда Q1,
так как этот заряд положителен, вектор 2 Е
направлен также по
силовой линии, но к заряду Q2, так как этот заряд отрицателен.
Модуль вектора Е
найдём по теореме косинусов:
2 2
1 2 1 2 E E E 2E E cos , (3)
где α – угол между векторами 1 Е
и 2 Е
, который может быть
найден из треугольника со сторонами r1, r2 и d
2 2 2
1 2
1 2
cos
2
d r r
r r
.
1 E
E
α
π-α
А
33
Подставляя выражение Е1 из (1) и Е2 из (2) в (3), получим
2 2
1 2 1 2
4 4 2 2
0 1 2 1 2
1 2 cos
4
Q Q Q Q Е
r r r r
. (4)
В соответствии с принципом суперпозиции электри-
ческих полей потенциал φ результирующего поля, равен
алгебраической сумме потенциалов
1 2 . (5)
Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме
точечным зарядом Q на расстоянии r от него, выражается
формулой
0 4
Q
r
. (6)
Согласно формулам (5) и (6) получим
1 2
0 1 0 2 4 4
Q Q
r r
,
или
1 2
0 1 2
1
4
Q Q
r r
.
Произведём вычисления:
34
Е = 3,58 В/м, φ = - 157 В.
Пример 4. Электрическое поле создано двумя парал-
лельными бесконечными заряженными плоскостями с поверх-
ностными плотностями заряда σ1=0,4мкКл/м2 и σ2=0,1мкКл/м2.
Определить напряжённость электрического поля, созданного
этими заряженными плоскостями.
Согласно принципа супер-
позиции электростатических
полей,
E E1 E2
,
где, 1 1 0 2 2 0 E 2 и E 2
-
напряженности электростатиче-
ских полей, создаваемых первой
и второй плоскостями соответст-
венно.
Плоскости делят всё прост-
ранство на три области: I, II, III.
Как видно из рисунка, в первой и
третьей областях электрические
силовые линии обоих полей направлены в одну сторону и
следовательно, напряжённости суммарных полей Е(I) и Е(III) в
первой и третьей областях равны между собой, противо-
положно направлены и равны сумме напряжённостей полей,
создаваемых первой и второй плоскостями:
( ) ( )
1 2
E I E III E E или
I II III
σ1 σ2
1 E
2 E
35
( ) ( ) 1 2
0
( )
2
E I E III
.
Во второй области (между плоскостями) электрические
силовые линии направлены в противоположные стороны и,
следовательно, напряжённость поля Е(II) равна разности
напряжённостей полей, создаваемых первой и второй
плоскостями: ( )
1 2
E II E E , или
( ) 1 2
0
( )
2
E II
.
Подставив данные и произведя вычисления, получим
E( I ) E(III ) 28,3кВ/ м , E(II ) 17кВ / м .
Пример 5. Две концентрические проводящие сферы
радиусами R1=6 см и R2=10 см несут соответственно заряды
Q1 = 1 нКл и Q2 = -0,5 нКл. Найти напряжённость Е поля в
точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r1 =5 см,
r2 =9 см , r3 = 15 см. Построить график Е(r).
Рис.1