Подключение цепи к источнику переменного напряжения

1) До коммутации

- ? - ?

2) Коммутация

, где ; ; .

(27)

- ЛНДУ 2-го порядка (28)

3)

4) - ?

Продифференцируем выражение и разделим на :

;

1. - корни вещественные

2. - корни кратные

3. - корни комплексно-сопряженные

, где .

5) - ? при , т.е. при новом установившемся процессе.

При этом определим значение , используя символический метод, т.е. запишем уравнение (27) в комплексной форме.

, где ; .

, где .

, где .

6) В соответствии с пунктом 3 записываем общее решение:

Дифференцируем это выражение, чтобы получить второе для нахождения и .

Решаем эту систему уравнений при .

(29)

На основании 1 закона коммутации .

Для нахождения решаем уравнение (28) при .

На основании 2 закона коммутации .

Подставляя найденные значения и в систему (29), получим:

Решая эти уравнения совместно, находим и .

Методика расчета переходных процессов классическим методом

Известны: , , ,

Найти: ток в ветви с конденсатором

Решение:

1) До коммутации

- ? - ?

До коммутации установившийся процесс переменного тока, поэтому можем пользоваться символическим методом, т.е. записывать уравнения в комплексной форме.

1 способ. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа.

2 способ. Метод контурных токов.

3 способ. Метод узловых потенциалов.

Пусть .

, где

2) Коммутация

(30)

Поскольку стоит задача найти ток , то эти три уравнения путем преобразований нужно свести к одному уравнению относительно тока . В результате получится НДУ 2-го порядка, где аргументом будет .

3)

4) - ?

Используя метод операторной схемы замещения можно непосредственно получить характеристическое уравнение, соответствующее ОДУ для данной цепи.

Эквивалентная операторная схема замещения составляется следующим образом:

1. Активное сопротивление заменяется активным.

2.

3.

4. Источник э.д.с. закорачивается.

5. Источник тока отбрасывается.

В результате операторная схема замещения нашей цепи будет иметь вид:

Размыкается любая ветвь в этой схеме, и относительно образовавшихся зажимов подсчитывают эквивалентное сопротивление данной схемы. Приравняв выражение к нулю, получаем характеристическое уравнение.

Находим корни: .

Покажем, что характеристическое уравнение не зависит от того, какая ветвь размыкается.

Как видим, характеристическое уравнение то же самое.

В соответствии с тем, какие будут корни, записываем решение . Пусть корни вещественные, тогда .

5) - ? при , т.е. при новом установившемся процессе.

, где

Записываем полное решение .

(31)

6) - ? - ?

Эти условия будут называться зависимыми начальными условиями.

Независимые начальные условия – это условия, связанные с законами коммутации (, ).

Используя значения независимых начальных условий из системы уравнений (30), находим интересующие нас зависимые начальные условия.

Пример:

(32)

(33)

(34)

Составим дополнительно еще одно уравнение:

(35)

Рассмотрим уравнение (33) при :

Уравнение (32) при будет иметь вид:

Дифференцируем уравнение (32):

(36)

Уравнение (35) при будет иметь вид:

(37)

Продифференцируем уравнение (33):

(38)

При уравнение (38) будет иметь вид:

(39)

Подставляя найденные значения (37) и (39) в уравнение (36) при , получим:

(40)

Зависимые начальные условия:

Решая систему уравнений(31) при , получаем искомые значения коэффициентов и .

(41)

Решение найдено:

Методика расчета переходных процессов классическим методом:

1. До коммутации: определяются значения , .

2. Коммутация: записываются уравнения по 2 закону Кирхгофа в дифференциальной форме для цепи после коммутации.

3. Нахождение свободной составляющей . Здесь составляется операторная схема замещения, разрывается какая-либо ветвь и относительно образованных зажимов записывается эквивалентное операторное сопротивление. Оно приравнивается к нулю. Это и будет характеристическое уравнение. Находим его корни и в соответствии с видом корней записывается соответствующее решение .

4. Нахождение принужденной составляющей . Находим ее при , т.е. при новом установившемся процессе. Если это цепь переменного тока, то используется символический метод с комплексными числами. Если цепь постоянного тока, то обычный метод.

5. Составляется общее решение . Если необходимо составляется второе уравнение:

6. Нахождение зависимых начальных условий: , . Они находятся из уравнений, записанных в пункте 2, с использованием независимых начальных условий , .

7. Составляются уравнения:

Находятся искомые значения и . Таким образом, решение найдено.