Знакоположительные ряды и признаки сходимости.

Рассмотренные признаки сходимости рядов не позволяют, как правило, в большинстве случаев решить вопрос о сходимости или расходимости произвольного числового ряда. Однако, для рядов более частного вида удается получить удобные для практического использования признаки сходимости. Рассмотрим знакопостоянные ряды.

(1)

Для ряда (1) последовательность его частичных сумм является возрастающей последовательностью:

(2)

на основании подмеченного свойства можно получить следующие необходимые и достаточные условия сходимости знакоположительного ряда.

Теорема

Для того, чтобы знакоположительный ряд сходился чтобы последовательность его частичных сумм была ограниченной.

Доказательство:

1) Необходимость. Ограниченность частичных сумм является необходимым условием сходимости любого числового ряда (II необходимый признак сходимости ряда)

2) Достаточность. Последовательность частичных сумм знакоположительного ряда (1) согласно (2) является монотонно возрастающей, а по условиям теоремы еще и ограниченной последовательностью. Но такая последовательность на основании достаточного признака Вейерштрасса сходится и имеет предел = , т.е. ряд сходится.

Теорема (признак сравнения)

Пусть даны два ряда (3) (4) Если, начиная с некоторого номера , для всех имеет место , то из сходимости ряда (4) следует сходимость ряда (3), при этом сумма ряда (3) не превышает суммы ряда (4), а из расходимости ряда (3) следует расходимость ряда (4)

Доказательство:

Обозначим:

- - частичная сумма ряда (3)

- - частичная сумма ряда (4)

1)Пусть ряд (4) сходится, т.е. = ; тогда его частичные суммы ограничены для всех < .

По условию теоремы , , < (т.е. последовательность частичных сумм ряда (3) ограничена, а по теореме такой ряд сходится). Кроме того = < = .

2)Если ряд (3) расходится, то и ряд (4) также расходится.

Допустим, что ряд (4) сходится, тогда и ряд (3) (по 1-ой части теоремы) также сходится, что против условия теоремы.

Пример

Решение:

В качестве сравнения выберем сходящийся ряд ГП .

Т.к. для , то и ряд - тоже сходится.

Теорема (предельный признак сравнения)

Если существует конечный и отличный от 0 предел отношения общих членов ряда (3) и (4) , то эти ряды ведут себя одинаково относительно сходимости.

Доказательство:

Пусть , где . Т.к. , то найдутся такие числа и , что будет иметь место . По определению предела числовой последовательности найдется такой номер , начиная с которого будет выполняться неравенство:

:

Исходя из последнего неравенства и на основании признака сравнения, заключаем, что если ряд сходится, то сходится и ряд и, сходится ряд , а если ряд расходится, то и расходится и ряд .

Пример 2 Исследовать сходимость ряда:

.

Решение:

Здесь . Сравним исследуемый ряд с гармоническим = :

Ответ. Т.к. ряд - расходится, то и ряд - тоже расходится.

Теорема (признак Даламбера)

Пусть для знакоположительного ряда существует такое число , что для всех достаточно больших выполняется: , то ряд сходится , то ряд расходится.

Доказательство:

1) Пусть, начиная с некоторого номера для всех выполняется:

: для Тогда

___ ___ ___ ___

Согласно признаку сравнения сходимость ряда вытекает из сравнения его со сходящимся рядом ГП:

со знаменателем .

2) Пусть для

: , тогда

т.к. последующий член ряда больше предыдущего и 1-ое необходимое условие сходимости ряда не выполнится. Следовательно, ряд расходится.

На практике удобнее использовать следствие из доказанной теоремы.

Следствие (предельный признак Даламбера)

Если для знакоположительного ряда существует предел отношения: , то при ряд сходится при ряд расходится

Доказательство:

Пусть .

1) Пусть . Тогда можно подобрать число , удовлетворяющее . По определению предела последовательности, начиная с некоторого номера , будет выполняться неравенство , откуда согласно теореме Даламбера ряд сходится.

2) Пусть , тогда также по определению предела последовательности для всех , начиная с некоторого номера , имеет место . Тогда по теореме Даламбера исходный ряд расходится.

В случае признак Даламбера о сходимости ряда не дает ответа.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение:

Здесь ,

Ответ. Ряд сходится.

Теорема (радикальный признак Коши)

Пусть для знакоположительного ряда существует такое число , что для всех достаточно больших выполняется: , то данный ряд сходится , то данный ряд расходится

Доказательство:

Пусть : . Т.е. для всех члены этого ряда не превосходят членов сходящегося ряда геометрической прогрессии . Т.е. наш ряд сходится.

Если при , то , т.е. необходимые условия сходимости ряда (Теорема I) не выполнены. Ряд расходится.

На практике используют следствие из доказанной теоремы.

Следствие (предельный признак Коши)

Если для знакоположительного ряда существует предел и , то ряд сходится ,то ряд расходится

Доказательство:

Пусть . Тогда можно подобрать число , что будет иметь место . По определению предела последовательности

: : на основании предыдущей теоремы, ряд сходится.

Если , то на основании определения предела последовательности : или , что по предыдущей теореме Коши означает, что ряд расходится.

В случае признак Коши не работает.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

Решение:

= = = 0 <1

Ряд сходится.

Теорема Интегральный признак Маклорена – Коши.

Пусть члены знакоположительного ряда являются значениями некоторой непрерывной, положительной и монотонно убывающей на промежутке функции , так что , , ,…,,… тогда исходный ряд и несобственный интеграл ведут себя одинаково относительно сходимости.

Пример 4 Исследовать сходимость гармонического ряда

Решение:

= = = =

Ряд расходится.