Лекция 5. § 128. Эллипсоид

Аналитическая геометрия.

Глава 9. Поверхности второго порядка, заданные каноническими уравнениями

Определение. Эллипсоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе координат, имеет вид: (1)

Будем считать, что . Если на эллипсоиде лежит точка , то на нём лежат и точки (с любым набором знаков плюс или минус). Отсюда следует, что для эллипсоида (1) начало координат является его центром симметрии и называется центром эллипсоида; оси координат являются осями симметрии и называются главными осями; плоскости координат являются плоскостями симметрии и называются главными плоскостями.

Если , то эллипсоид называется трёхосным.

Если , то эллипсоид называется вытянутым эллипсоидом вращения; он получается вращением эллипса: вокруг его большей оси (См. рис. 197)

Если , то эллипсоид называется сжатым эллипсоидом вращения; он получается вращением эллипса: вокруг его малой оси (См. рис. 198)

Рис. 198.

Если , тоэллипсоид является сферой радиуса с центром в начале координат.

Вершинами трёхосного эллипсоида являются точки пересечения эллипсоида с его главными осями. Трёхосный эллипсоид имеет 6 вершин , , .

Из уравнения (1) следует, что , , . Это означает, что эллипсоид (1) лежит внутри прямоугольного параллелепипеда с вершинами . Каждая грань этого параллелепипеда имеет с эллипсоидом только одну общую точку - его вершину.

Плоскость пересекает эллипсоид (1) по линии, выраженной уравнениями: , или эквивалентной системой: (2)

Аналогично плоскость пересекает эллипсоид (1) по линии, уравнения которой: , , (3) а плоскость по линии: , . (4)

Линии (2), (3), (4) суть эллипсы. Эти эллипсы, т.е. сечения эллипсоида (1) его главными плоскостями, называются главными сечениями.

Рассмотрим сечения эллипсоида какими-нибудь координатными плоскостями, например плоскостями, параллельными плоскости , т.е. плоскостями, выраженными уравнением , где - произвольное действительное число. В таком случае, уравнения линии сечения имеют вид: , , или , , или: (5) Если , то первому уравнению системы (5) не удовлетворяет ни одна пара действительных чисел т.е. система (5) не имеет действительных решений . это означает, что плоскость при не пересекает эллипсоид (1).

При первое уравнение системы (5) имеет вид: , откуда . Таким образом, плоскости встречают эллипсоид (1) в его вершинах . Наконец, если , то систему уравнений (5), выражающих линию сечения, можно переписать так: , .

Или: , .

Эти уравнения являются уравнения эллипса, лежащего в плоскости сечения ; центр этого эллипса - точка , оси симметрии параллельны осям и , а полуоси равны: , . Таким образом, любое сечение эллипсоида плоскостями, параллельными координатным, дают в сечении эллипс.

Отметим, что эллипсоид (1) может быть получен из сферы , если провести 3 равномерных сжатия: ; ; к трём попарно перпендикулярным плоскостям.

§ 129. Однополостный гиперболоид

Определение. Однополостным гиперболоидом на-зывается поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе коор-динат, имеет вид: (6)

Будем считать, что . Также как и в преды-дущем параграфе доказывается, что для однополостного гиперболоида (6) начало координат является центром симметрии (центр однополостного гиперболоида). Оси координат являются осями симметрии (главные оси), а координатные плоскости - плоскостями симметрии (главные плоскости) (См. рис. 200).

Рис. 200.

Если в уравнении (6) , то однополостный гиперболоид (6) называется однополостным гиперболоидом вращения, так как может быть получен вращением гиперболы вокруг мнимой оси (См. рис. 200).

Вершинами однополостного гиперболоида называ-ются точки пересечения гиперболоида с его главными осями. Гиперболоид (6) в случае имеет 4 вершины ; .

Плоскость пересекает однополостный гипер-болоид (6) по эллипсу, выраженному уравнениями:

, , называемому горловым эллипсом однополостного гиперболоида (6). Плоскость пересекает однополостный гиперболоид (6) по гипер-боле, выраженной уравнениями: , .

А плоскость пересекает однополостный гиперболоид (6) по гиперболе, выраженной уравнениями: , .

Рассмотрим сечения однополостного гиперболоида (6) плоскостями, параллельными координатной плоскости , т.е. плоскостями . Уравнения линии сечения будут: ; . Эта система уравнений эквивалентна следующей системе: ; или

; .

Этими уравнениям выражается эллипс с полуосями , с центром на оси в точке и осями, параллельными соответственно осям и . из выражений , следует, что , , т.е. горловой эллипс является наименьшим из всех эллипсов, по которым однополостный гиперболоид (6) рассекается плоскостями, параллельными плоскости .

Плоскость , параллельная плоскости , пересекает однополостный гиперболоид (6) по линии, выражаемой уравнениями: ; . Или ; .

Если , то этими уравнениями определяется гипербола с центром в точке , лежащая в плоскости , действительная ось которой параллельна оси , а мнимая - оси . Полуоси этой гиперболы: (действительная полуось), - (мнимая полуось).

Если , то уравнения линии сечения имеет

вид: ; . Уравнения ; являются уравнениями двух пересекающихся прямых и : , - прямая ; , - прямая .

Аналогично уравнения ; являются уравнениями двух пересекающихся прямых: , и , .

Если , то в сечении получается гипербола, уравнения которой: ; .

Действительная ось этой гиперболы параллельна оси , мнимая - оси , центр лежит в точке .

Асимптоты всех гипербол, получающихся при пересечении однополостного гиперболоида (6) плоскостями , параллельны прямым, получающимся при пересечении гиперболоида плоскостями .

Сечения плоскостями , параллельными плоскости аналогичны рассматриваемым. Все эти сечения дают представление о форме поверхности однополостного гиперболоида (См. рис. 201).

Рис. 201.

Всякий однополостный гиперболоид можно получить из однополостного гиперболоида вращения: , производя равномерное сжатие . , к плоскости . Однополостный гиперболоид (6) можно получить из равностороннего гиперболоида вращения:

, производя равномерные сжатия , , соответственно к плоскостям , и с коэффициентами сжатия .

§ 130. Двуполостный гиперболоид.

Определение. Двуполостным гиперболоидом назы-вается поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе коор-динат, имеет вид: . (7)

Начало координат является центром симметрии (центр) двуполостного гиперболоида. Оси координат - осями симметрии (главные оси), координатные плос-кости - плоскостями симметрии (главные плоскости).

Если в уравнении (7) , то двуполостный гиперболоид называется гиперболоидом вращения, так как может быть получен вращением гиперболы: вокруг его действительной оси (См. рис. 202).

Рис. 202. Рис. 203

Вершинами двуполостного гиперболоида называются точки его пересечения с главной осью . Двуполостный гиперболоид (7) имеет две вершины .

Плоскости и пересекает двуполостный гиперболоид (7) по гиперболам: , , и , .

Сечения двуполостного гиперболоида (7) плоскостью выражается уравнениями:

; .

Если , то первое уравнение не имеет действительных решений - плоскость не пересекает поверхности.

Если , то , откуда , т.е. это две точки .

Если , то уравнение линии пересечения можно переписать в виде:

; .

Этими уравнениями выражается эллипс с полуосями , с центром в точке и осями, соответственно параллельными осям и .

Плоскость пересекает поверхность двуполостного гиперболоида (7) по линии, выражаемой уравнениями: ; .

Или ; ,

т.е. по гиперболе с центром в точке , лежащей в плоскости . Действительная ось этой гиперболы, параллельна оси , мнимая - оси .

Аналогично исследуются сечения поверхности (7) плоскостями (См. рис. 203).

Двуполостный гиперболоид можно получить из двуполостного гиперболоида вращения: , производя равномерное сжатие . , к плоскости . Двуполостный гиперболоид (7) можно получить из равностороннего двуполостного гиперболоида враще-ния: , производя равномерные сжатия , , соответственно к плоскостям , и с коэффициентами сжатия .

§ 131. Конус второго порядка.

Определение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой спе-циально выбранной прямоугольной системе коор-динат, имеет вид: . (8)

Считаем, что в этом уравнении . Начало координат, оси координат и координатные плоскости являются соответственно, центром симметрии, осями симметрии и плоскостями симметрии и называются вершиной, главными осями и главными плоскостями.

Осью конуса (8) обычно называют ось . Основное свойство конуса - это, если на конусе лежит точка (не совпадающая с вершиной), то на нём лежат все точки прямой , проходящей через вершину и эту точку .

В самом деле, если - произвольная точка, лежащая на прямой , то , , и поэтому:

Таким образом, поверхность (8) образована прямыми, проходящими через начало координат. Поэтому для представления вида этой поверхности достаточно рассмотреть её сечение какой-нибудь плоскостью , параллельной плоскости . В сечении получится эллипс, уравнения которого имеют вид: , . Центр этого эллипса лежит на оси в точке , а значит, поверхность (8) образована прямыми, соединяющими начало ко-ординат со всеми точками эллипса . (См. рис. 204).

Рис. 204.

Конус (8) может быть получен в результате равномерного сжатия , , к плоскости конуса вращения , полученного вращением вокруг оси прямой , , или в результате равномерного сжатия к плоскостям , и : , , равностороннего конуса вращения .

§ 131. Асимптотический конус гиперболоидов.

Два гиперболоида (один однополостный, другой двуполостный): (9)

называются сопряжёнными.

Конус второго порядка, выражаемый уравнением: (10)

называется асимптотическим конусом для обоих гиперболоидов.

Докажем, что любая плоскость, проходящая через ось , пересекает поверхности (9) по сопряжённым гиперболам, а асимптотический конус (10) по двум прямым, которые для этих сопряженных гипербол являются асимптотами. В самом деле, повернём оси координат вокруг оси на угол .