Контрольні запитання

Задача діріхле для круга

Нехай у площині хоу є круг радіуса R з центром в початку координат. на його колі задана деяка функція де – полярний кут. Треба знайти функцію неперервну у крузі, яка задовольняє всередині круга рівнянню Лапласа [1]. Постановка задачі в полярних координатах має вигляд:

, ,

К.У.

Припустимо, що можна розкласти в ряд Фур’є на . Перепишемо рівняння Лапласа, домноживши його на :

Будемо шукати розв’язок за методом Фур’є, подаючи функцію у вигляді добутку двох функцій, кожна з яких залежить від однієї змінної:

(6.48)

Підставляючи її в рівняння та враховуючи, що

та отримаємо:

Відокремимо змінні:

Отже, рівняння Лапласа розпалося на два диференціальних рівняння:

(І)

. (ІІ)

З рівняння ( І ) маємо

k²+λ=0,

.

Тоді(6.49)

Оскільки задана область є кругом, то при збільшенні кута на 2π точка M(r,φ) повернеться у своє початкове положення. Отже, функція Ф(φ) – 2π-періодична, а це означає, що число має бути цілим: або

Тоді отримаємо множину функцій:

,

Коефіцієнти та залишились невизначеними. Розглянемо рівняння (ІІ):

Розв’язок цього рівняння будемо шукати у вигляді , де – невідомий параметр. Підставимо цю функцію у рівняння:

(6.50)

Поділивши на , отримаємо:

Зазначимо, що – сторонній корінь, оскільки при функція Отже, Остаточно маємо:

(6.51)

Завдяки лінійності та однорідності рівняння Лапласа сума частинних розв’язків:

(6.52)

буде також розв’язком рівняння Лапласа. Для знаходження коефіцієнтів та використаємо крайову умову:

Це є ряд Фур’є для функції з коефіцієнтами та які визначаються за формулами Фур’є:

Звідси:

(6.53)

Таким чином, розв’язком задачі Діріхле у крузі радіуса R є функція (6.52) з коефіцієнтами (6.53).

6.1 На яких припущеннях будується виведення рівняння теплопровідності?

6.2 Проаналізувати фізичний зміст величин, що входять у рівняння теплопровідності.

6.3 У чому полягає постановка задачі нестаціонарної теплопровідності?

6.4 Особливості застосування методу Фур’є до задач теплопровідності.

6.5 Якими диференціальними рівняннями з частинними похідними моделюються стаціонарні процеси?

6.6 Постановка задачі стаціонарної теплопровідності.

6.7 Що характеризує вільний член F(x,t) у рівнянні теплопровідності ?

6.8 Які крайові задачі виділяють у залежності від способу задання крайової умови?

6.9 Задача Діріхле для рівняння Лапласа.

6.10 задача Неймана.

6.11 Мішана крайова задача.

6.12 Рівняння Лапласа в полярних та циліндричних координатах.

6.13 Застосування методу Фур’є при розв’язуванні задачі Діріхле для круга.