Вирішення

Приклади розрахунку перехідного процеса операторним методом

Задача 1

У колі, яке показано на рис.3. розрахувати вхідний струм після комутаціїї операторним методом.

Рис.3.

1. Визначаємо незалежну початкову умову , розраховуючи стан кола до комутації:

2. Для кола післякомутаційної конфігурації складаємо еквівалентну операторну схему заміщення (рис.4). Ненульовий початковий струм у катушці враховується введенням до схеми кола додаткового джерела напруги , спрямування якого співпадає з напрямом струму у катушці перед комутацією.

Рис.4.

3. Обираємо вільний позитивний напрям струму і розраховуємо схему відносно цього струму. В якості метода розрахунку застосовуємо метод накладення.

де вхідний операторний опір першої гілки; взаємний операторний опір між першою та другою гілками.

4. Чисельники будь-якиого вхідного і взаємного опорів, одного та того-ж кола, являють собою характеристичне рівняння цього кола, тому вираз для операторних опорів будуть відрізнятися між собою тільки знаменниками дробу.

Знаходимо оператор струму:

де

5. Здійснюємо перехід від зображення до оригіналу згідно теоремі розкладання. Так-як у знаменнику операторного струму є нульовий корінь, то застосовуємо наступну форму запису теореми розкладання:

де

значення полінома чисельника при ;

значення полінома знаменника при ;

корінь характеристичного рівняння, який визначається з умови ;

значення полінома чисельника при ;

похідна полінома знаменника по з підставленням значення корня .

6. Знаходимо значення величин, які входять до складу теореми розкладення.

7. З умови знаходимо корінь характеристичного рівняння , тоді:

8. Підставляємо знайдені значення у теорему розкладання і отримаємо:

Задача 2

Рис.6.

1. Визначаємо незалежні початкові умови та методом розрахунку кола перед комутацією:

2. Складаємо операторну схему заміщення, яка відповідає первинному колу після процесу комутації (рис.7). На цій схемі:

та додаткові джерела ЕРС, які враховують ненульові початкові умови.

Рис.7.

3. Згідно другого закону Кірхгофа:

Тоді розрахунком операторної схеми необхідно знайти . Так як коло має три гілки (легко записуються вхідні опори гілок та взаємні опори між гілками), використовуємо метод накладення. Згідно цього методу:

де

Підставимо вирази ,,до рівняння для визначення :

Використовуючи вираз для , знаходимо операторне зображення напруги на затискачах конденсатора:

де ,

Оригінал складається з суми двох оригіналів:

обирається з таблиці 2;

знайдемо по теоремі розкладання. Для вибора віповідної форми запису теореми розкладання визначимо корні характеристичного рівняння з умови

Так, як корні прості і знаменник операторного зображення має нульовий корень, то обираємо наступну форму запису теореми розкладання:

Знайдемо значення складових, які входять до виразу для :

Підставляємо знайдені значення у теорему розкладання. У наслідку маємо:

тоді, отже, напруга на конденсаторі після комутації змінюється в часі по закону: