Модификации метода частотной выборки с использованием квадратурной модуляции-демодуляции

Как было установлено ранее, метод частотной выборки предполагает реализацию параллельного набора фильтров частотной выборки с функцией передачи вида

Импульсная характеристика фильтра выборки с функцией передачи (2.46) принимает следующий вид:

Заметим, что реализация y(n) на выходе k-го фильтра выборки может быть представлена в следующей форме:

Учитывая, что функция косинуса принимает отличные от нуля значения только на интервале , продолжим её периодически с периодом равным N. Исходное выражение (2.48) можно записать в следующей форме (когда внутренняя переменная l меняется от -∞ до текущего значения)

Используя разностную переменную вида и элементарные тригонометрические преобразования (разложение косинуса разности через произведение косинуса и синуса), получим

В соответствии с приведённым алгоритмом обработки, структурная схема k-го фильтра частотной выборки принимает следующий вид (рис. 2.41):

Рис. 2.41. Структурная схема k-го фильтра частотной выборки.

Заметим, что в данном случае для формирования цифрового резонатора на k-ой частотной выборке используется обычный цифровой интегратор, не требующий операции умножения. При этом положение полюса строго фиксировано, и проблема точного представления исчезает. Отметим, что данная структура не допускает округления результатов умножения на входах цифровых интеграторов, т.к. это может привести к потере устойчивости работы фильтра.

Рассмотрим другие модификации метода частотной выборки, допускающие округление результатов умножения. Представим исходное выражение свёртки (2.48) в следующем виде:

С помощью простых тригонометрических преобразований, по рассмотренной выше методике, представим (2.51) в следующей форме:

где

Реализация фильтра выборки по выражению (2.52) потребует 4 операции умножения и 2N+1 операций сложения на каждый текущий отчёт выходного сигнала.

Рассмотрим возможные варианты уменьшения числа операций сложения. Отметим, что при накоплении выходных данных можно воспользоваться алгоритмом вида:

Рис. 2.42. Ход работы алгоритма (2.53)

Т.о. в соответствии с (2.53) потребуется 4 операции умножения и 5 операций сложения на реализацию одного фильтра выборки. При этом структурная схема фильтра принимает следующий вид (рис. 2.43):

Рис. 2.43. Структурная схема схема k-го фильтра частотной выборки в соответствии с алгоритмом (2.53).

Введённая избыточность позволяет выполнять округление результатов умножения как на выходе, так и на входе фильтра выборки. При этом дисперсия собственного шума на выходе будет меньше в N раз суммы округления результатов умножения. Недостатком данной схемы является большой динамический диапазон цифрового накопления, который определяется размерностью порядка N.

Другой вариант повышения эффективности метода частотной выборки состоит в многокаскадной реализации цифрового накопителя с использованием масштабирования промежуточных переменных. Передаточную функцию H(z) представим в следующем виде:

Если N=2^m, то можно показать, что выражение (2.54) может быть представлено в виде произведения цифровых накопителей меньшего порядка. Запишем (2.54) в следующей форме:

Продолжая процесс разбиения и объединения, получим следующее представление передаточной функции:

Заметим, что фильтр с передаточной функцией (2.55) представляет собой элементарный гребенчатый фильтр, содержащий 2ⁱ нулей, равномерно распределённых на окружности. Т.о. структурная схема выборки примет следующий вид (рис. 2.44).

Рис. 2.44. Структурная схема схема k-го фильтра частотной выборки с многокаскадной реализацией цифрового накопителя с использованием масштабирования промежуточных переменных.

Масштабный множитель ½ на выходе каждой ступени используется с тем, чтобы не допустить переполнение аккумулятора.