Общие формулы для координат центра тяжести
Лекция 9 ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
Рассмотрим тело, находящееся возле поверхности Земли. На каждую частицу этого тела действует сила притяжения, направленная по вертикали вниз и равная весу этой частицы (рис.9.1). Обозначим эту систему сил через р1, р2, …, рn. Строго говоря, данная система сил представляет собой систему сходящихся сил, так как они пересекаются в одной точке – центре земли.
Рис.9.1
Но так как расстояние до центра земли очень велико по сравнению с размерами тела, то с большой степенью точности можно считать, что все эти силы параллельны. Центр С этой системы параллельных сил называется центром тяжести данного тела, а равнодействующая этих сил , проходящая через точку С, представляет собой вес этого тела.
Найдем положение центра тяжести данного тела. Отнесем это тело к прямоугольной системе координат Охуz. Чтобы определить положение центра тяжести С, нужно найти его координаты, которые обозначим через хС, уС и zС. Так как центр тяжести есть центр параллельных сил, представляющих веса элементарных частиц этого тела, то координаты центра тяжести системы параллельных сил будут равны:
, , , где х, у и z обозначают координаты точек приложения рi.
Обозначим вес единицы объема данного тела через γ, а объемы элементарных частиц через . Если данное тело однородно, то величина γ будет для всех частиц одинакова, т.е. . Подставляя эти значения в предыдущие формулы, получим:
, где – объем тела.
Аналогично получим и для двух других координат:
,
Чтобы получить точные формулы для координат центра тяжести однородного тела, нужно перейти к пределу предполагая, что число составляющих тело частиц бесконечно, а объем каждой частицы стермится к нулю. Поэтому окончательно будем иметь:
, ,
Вычисление пределов сумм, входящих в полученные формулы производится методами интегрального исчисления.
1. Случай однородного твердого тела
2. Однородная плоская фигура (рис.19.2)
Рис.9.2
3. Однородная линия (рис.9.3)
Рис.9.3
Тройной интеграл вычисляется следующим образом:
Устанавливаем пределы интегрирования по оси z в виде уравнений поверхности и и интегрируем по направлению оси z:
, при интегрировании х и у рассматриваются как постоянные. Далее тройной интеграл может быть представлен в виде двойного, который приводится к повторному. Интегрируя сначала по у, а затем по х получим