Второе правило исследования на экстремум

Правило исследования функции на экстремум

1. Найти область определения функции.

2. Найти критические точки.

3. Найти интервалы монотонной функции.

4. Определить знак производной в этих интервалах и вид экстремума, если он есть.

В некоторых случаях при исследовании на экстремум удобно использовать признак существования экстремума, основанный на знаке второй производной.

Т.4.1

Пусть в точке первая производная , а вторая производная существует и отлична от нуля . Тогда, если , то в точке функция имеет ; если же , то в точке -.

Доказательство

Пусть для определенности . Покажем, что в точке -. На основании второй производной:

;

т.к. по условию , то

Учитывая, что , получим

Так как, предел меньше нуля, то для малых по абсолютной величине значений выполняется неравенство .

Пусть , тогда ,

, тогда .

Это показывает, что при переходе через точку первая производная меняет знак с «+» на «–». Следовательно, на основании достаточного признака существования экстремума функция имеет в точке -.

Аналогично доказывается для .

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

Найдем критические точки

Найдем вторую производную и вычислим ее значение в критических точках

Правило. Чтобы исследовать функцию с помощью второй производной нужно:

1. найти ;

2. найти первую производную и критические точки, лежащие в области определения ;

3. найти ;

4. найти значения второй производной в критических точках, и если , то то .