Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных.

Рассмотрим ДУ второго порядка

. (2.16.1)

Предположим, что известно общее решение

, (2.16.2)

соответствующего однородного уравнения

. (2.16.3)

Для решения неоднородного уравнения (2.16.1) выполним замену переменной

. (2.16.4)

В отличие от формулы (2.16.2) здесь – некоторые функции – вариации произвольных постоянных. Поскольку вместо одной искомой функции появились две – , то на них можно будет впоследствии наложить одно вспомогательное упрощающее условие. Вычислим производную от функции (2.16.4)

. (2.16.5)

Воспользуемся возможностью наложить упрощающее условие на и примем

. (2.16.6)

Тогда (2.16.5) запишется в виде

. (2.16.7)

Вычислим вторую производную

. (2.16.8)

Подставляя формулы (2.16.4), (2.16.7), (2.16.8) в уравнение (2.16.1), находим

или

Таким образом

, (2.16.9)

и относительно величин получаем систему линейных уравнений (2.16.6), (2.16.9).

(2.16.10)

Решая эту систему относительно , получим

.

Пример: Решить уравнение .

Решение:

1. Запишем решение соответствующего однородного уравнения.

2. Составим систему (2.16.10).

По формулам Крамера, находим

Таким образом, получаем общее решение

или после преобразования

.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение произвольного порядка

, (2.16.11)

решается методом вариации произвольных постоянных по описанной выше схеме. Для уравнения (2.16.11) система (2.16.10) принимает вид