Базовые вопросы

1. Сформулируйте законы динамики.

2. Сущность первой задачи динамики и порядок ее решения.

3. Сущность второй задачи динамики и порядок ее решения.

4. Что понимается под начальными условиями движения точки?

5. Запишите дифференциальные уравнения движения материальной точки.

Задача . Груз 3 массы т поднимается по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол , при помощи лебедки, состоящей из пары зубчатых колес 7, 2 и барабана радиуса r₂ (рис. 1.). Колесо 1 приводится во вращение электромотором. Барабан жестко скреплен с колесом 2. Определить натяжение троса, пренебрегая его деформацией, если колесо 1 вращается с угловым ускорением . Радиусы колес R₁ и R₂. Коэффициент трения груза о плоскость равен f. Массой троса пренебречь.

Рис. 1.

Решение. Определим ускорение груза. Поскольку деформацией троса пренебрегаем, то

где - угловое ускорение барабана.

Однако

поэтому

Полагая груз материальной точкой, освободим его от связей, заменив их действие силами реакции. Изобразим силы, действующие m груз (рис. 2): силу тяжести , реакцию троса , нормальную реакцию плоскости и силу трения .

Составим дифференциальные уравнения движения груза в проекциях на оси координат:

Из первого уравнения . Следовательно,

Рис. 2

Из второго уравнения системы

Подставляя сюда значение силы трения и учитывая, что , получаем

Задача .Пристроительстведорог в скальных выемках для защиты кюветов от попадания в них с откосов каменных осыпей устраивается «полка» DC. Учитывая возможность движения камня из наивысшей точки А откоса и полагая при этом его начальную скорость , определить наименьшую ширину полки b и скорость , с которой камень падает на нее. По участку АВ откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину l, камень движется τ с. Коэффициент трения скольжения f камня на участке АВ считать постоянным, а сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано: . Определить b и (рис. 1).

Рис. 1

Решение. Задачу разделим на два этапа. Первый – движение камня на участке АВ, второй – движение камня от точки В до С.

Первый этап. 1. Составление расчетной схемы. Камень принимаем за материальную точку и показываем ее в текущем положении,

изображаем действующие на камень (точку) силы: вес , нормальную реакцию и силу трения скольжения (рис. 2).

Ось проводим по направлению движения камня, ось - перпендикулярно к оси .

2. Выявление начальных условий. При .

Рис. 2

3. Составление дифференциальных уравнений движения точки. Так как точка (камень) движется прямолинейно, то при направлении оси х вдоль траектории получим одно дифференциальное уравнение движения

;

сила трения

тогда

;

4. Интегрирование дифференциальных уравнений движения. Интегрируя дифференциальное уравнение дважды, получаем:

;

5. Определение постоянных интегрирования. Подставим начальные условия, т.е. в уравнения:

;

6. Нахождение неизвестных величин и исследование полученных результатов. После подстановки постоянных интегрирования С₁ и С₂ получаем уравнение скорости и уравнение движения:

;

Для момента времени τ, когда камень покидает участок АВ,

т.е.

;

Умножим первое уравнение на τ/2, после этого разделим его на второе. В результате получим:

; ;

Второй этап: движение камня от точки В до точки С.

1. Составление расчетной схемы. Камень принимаем за материальную точку, показываем ее в текущем положении, изображаем действующую на камень силу тяжести (рис. 2). Координатные оси покажем так, как это удобно для решения задачи, в нашем случае ось х параллельна горизонтали и проходит через точку В, ось у направляем вниз через точку В.

2. Выявление начальных условий движения. При :

3. Составление дифференциальных уравнений движения. Так как движение точки происходит в плоскости ху, то число уравнений движения равно двум:

4. Интегрирование дифференциальных уравнений движения. Интегрируем дифференциальные уравнения дважды:

(a)

; (б)

(в)

. (г)

5. Определение постоянных интегрирования. Подставляем начальные условия: в уравнения (а – г):

откуда

6. Нахождение искомых величин и исследование полученных результатов. После подстановки постоянных интегрирования в уравнения (а –г) получаем следующие уравнения проекций скорости камня: