Знаходження власних значень та власних векторів

Розглянемо (3.3) як матричний запис СЛР. Зробимо наступні перетворення: . Отже, власний вектор є розв’язком однорідної СЛР з матрицею

= (3.4)

Оскільки , то однорідна СЛР з матрицею (3.4) повинна бути невизначеною, отже

(3.5)

Це співвідношення називається характеристичним рівнянням матриці А.

З означення визначника випливає, що характеристичне рівняння (3.5) є раціональним рівнянням n-го степеня відносно невідомої , а саме:

.

Оскільки власні значення є коренями рівняння (3.5), то матриця n-го порядку може мати не більше n власних значень.

Схема знаходження власних векторів та власних значень.

1. За матрицею А складаємо характеристичне рівняння (3.5) та знаходимо власні значення матриці як корені цього рівняння .

2. Для кожного власного значення методом Гауса знаходимо відповідний власний вектор як розв’язок однорідної СЛР з матрицею . При цьому, не виписуючи самої системи, можна одразу робити перетворення методом Гауса для даної матриці.

Приклад 3. Знайти власні значення та власні вектори матриці

1. Складемо характеристичне рівняння:

.

2. а) , відповідна однорідна СЛР має матрицю . Отже, система еквівалентна рівнянню . Візьмемо вільну змінну , тоді . Таким чином, відповідний власний вектор .

б) , відповідна однорідна СЛР має матрицю . Отже, система еквівалентна рівнянню . Візьмемо вільну змінну , тоді . Таким чином, відповідний власний вектор .