Решение типовых задач.
1. Провести полное исследование и построить график функции:
а) 
.
1. Область определения функции D(y)=R.
2. Функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Точки пересечения с осью OY: x=0 Þ y=0. Точка (0;0).
Точки пересечения с осью OX: y=0 Þ 
,
, 
(D<0).
Þ точка (0;0) – точка пересечения с осями.
4. Асимптот нет, т.к. D(y)=R.
5. 
.
Критические точки: 
. 
, 
Þ 
, 
.
| x | (-∞;2) | x=2 | (2;3) | x=3 | (3;+∞) |
| + | − | + | ||
| возрастает | max y(2)=28 | убывает | min y(3)=27 | возрастает |
6. 
.
Критические точки второго рода: 
. 
, 
.
| x | (-∞;2,5) | x=2,5 | (2,5;+∞) |
| − | + | |
|
| вогнута | y(2,5)=27,5 | выпукла |
7. График функции.
б) 
.
1. Область определения функции D(y): x¹0.
2. Функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Точки пересечения с осью OY: x¹0 Þ ось OY не пересекает.
Точки пересечения с осью OX: y=0 Þ числитель равен нулю: 
, 
. Þ Точка 
.
4. x=0 – точка разрыва.
Вертикальная асимптота:
— вертикальная асимптота.
Наклонная асимптота: 
.
;
. Þ 
.
— горизонтальная асимптота.
5. 
;
.
Критические точки: , т.е. числитель равен нулю Þ 
;
– не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ 
.
| x | (-∞;0) | x=0 | (0;1) | x=1 | (1;+∞) |
| y´ | + | не существует | + | − | |
| y | возрастает | не существует | возрастает | max y(1)=1 | убывает |
6. 
;
.
Критические точки второго рода:
, т.е. числитель равен нулю Þ 
,
;
– не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ .
| x | (-∞;0) | x=0 | 
|
| 
|
| y´´ | + | не существует | − | + | |
| y | выпукла | не существует | вогнута | точка перегиба
| выпукла |
7. График функции.