Вычисление поверхностного интеграла.

Вычисление поверхностного интеграла второго рода сводится к вычислению двойного интеграла.

Рассмотрим интеграл

Учитывая, что уравнение поверхности σ: z = z(x, y) и

получим

Полученная сумма есть интегральная сумма для двойного интеграла от функции R(x, y, z(x, y)) по области D. Поэтому

Знак «+» берем, если

« - » берем, если <

Аналогично вычисляются интегралы

Пример Вычислим интеграл

J=²

где σ – внешняя сторона части сферы , заключенной в первом октанте.

z

D₁, D₂, D₃ – проекции поверхности

σ на координатные плоскости

D₂ D₁

0 D₃ у

х

J₂ = S – площадь четверти круга =

J_1, J₃ – вычислим, перейдя к полярным координата

Итак,