В.1. Предел числовой последовательности
Тема 2. Пределы и непрерывность
Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число an, то говорят, что задана числовая последовательность {an}:
a1, a2,…,an… .
Другими словами, числовая последовательность – это функция натурального аргумента an=f(n).
Числа a1, a2,…,an называются членами последовательности, а число an– общим или n-м членом данной последовательности.
Пример 1: а) 2, 4, 6, …2n, … (монотонная неограниченная);
б) 1, 0, 1, 0, … (немонотонная ограниченная);
в) 0, 
, 
, 
, 
, …, 
, … - немонотонная, ограниченная. Изобразим её точками числовой оси. С ростом n последовательность как угодно близко приближается к 1. При этом 
, 
, 
, … , 
, … Т.е. с ростом n расстояние 
будет меньше любого, сколь угодно малого числа.
Число А называется пределом числовой последовательности {an}, если для любого сколь угодно малого положительного числа e > 0 найдется такой номер N(e), зависящий от e, что для всех членов данной последовательности с номерами n > N(e) верно неравенство |an - A| < e .
Предел числовой последовательности обозначается 
или 
. Используя следующие логические символы (кванторы): " (любой), $ (существует), Û (равносильность или эквивалентность), определение предела можно записать в виде:
(A = 
an)Û ("e > 0 $ N(e) : "n > N(e) | an – A | < e)
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.
Смысл определения: для достаточно больших n члены последовательности {an} сколь угодно мало отличаются от числа А.