Макетування книжково-журнальних видань.

X

X MM

Проколотий окіл – це той самий круг з якого викинули точку.

Нехай задана ф-ція двох змінних в деякому проколотому околі точки .

Число А наз. границею ф-ції в т. (, якщо для будь-якої послідовності точок площини Оxy , ,…,…, що лежать в проколотому околі точки і відстань відповідні значення ф-ції

Позначення:

або

Виконується теорема: границя суми, різниці, добутку, частки двох функцій дорівнює сумі, різниці, добутку, частці їх границь (якщо це можна обчислити).

Неперервність функції

Нехай ф-ція визначена в деякому проколотому околі точки .

01. Якщо границя функції в точці дорівнює значенню функції в цій точці, то функція називається неперервною в точці

(1)

В точці графік ф-ції є нерозривною поверхнею.

02. Якщо порушується умова (1), тобто границя або значення ф-ції не існують, або не рівні між собою, то точка називається точкою розриву ф-ції .

Тоді й поверхня має розриви. Ф-ція двох змінних чи поверхня може мати точки розриву і лінії розриву.

03. Ф-ція наз. неперервною в деякій області А (А – деяка площадка на площині Оху), якщо неперервна в кожній точці області А.

Частинні похідні і градієнт

z

z=f(x,y)

z

y y

Нехай визначена в деякому околі точки М(х,у). Точка належить цьому околу. називається частковим приростом ф-ції z по змінній х в точці М.

Аналогічно можна знайти частковий приріст ф-ції по змінній у:нехай точка належить також області визначення функції ,

Якщо взяти точку із області визначення функції, то

називається повним приростом функції z в точці М.

Означення. Частинною похідною ф-ції z в точці M(х,у) по змінній х – наз. границя відношення часткового приросту ф-ції по змінні х до приросту аргументу , коли , якщо ця границя є числом. Позн. , або :

Аналогічно можна шукати частинну похідну по змінній у. Позн. або :

Оскільки означення частинної похідної по х співпадає з означенням похідної ф-ції однієї змінної х при сталому у, то частинну похідну можна шукати за табличкою похідних і правилами диференціювання ф-ції однієї змінної, вважаючи х змінною, а у сталою.

Аналогічно шукають , але тоді у – змінна, а х – стала.

Приклад.

Нехай треба знайти частинні похідні в точці М(3;0), то

, тобто підставляють координати точки у частинні похідні.

Отже, частинні похідні ф-ції двох змінних в точці це два числа.

Вектор з такими координатами і наз. повною похідною або градієнтом

ф-ції z в точці М.Позн. або

Пр.1.

Пр.2. Знайти: в точці М(0;1)

Повний приріст функції і диференціал

z(M1) z(M) y y+ x M x+ M1

визначення функції z.

- повний приріст ф-ціїв точці М(x;y).

Якщо повний приріст ф-ції в точці М можна ось так виразити через прирости аргументів

, де швидше прямує до нуля ніж

при :,а - деякі числа, то функція називається диференційованою в точці М(х,у).

Величиною можна знехтувати.

Основна частина приросту називається диференціалом функції і позначається dz :

якщо прирости аргументів і малі.

Приклад. Знайти приріст і диференціал функції в т.М(1,-2).

р р -

нескінченно швидше прямує до нуля ніж відстань ММ при

Отже, dz=.

В точці М:

Теорема. Якщо f диференційована в точці М(х,у), то існують частинні похідні в т.М, які дорівнюють числам та відповідно:

Тоді формула диференціалу має вигляд:

Перевіримо формулу на нашому прикладі

тоді - зійшлося.

Якщо , то , і
Аналогічно .

і формула для диференціалу набуває вигляду:

(1)

Ця формула диференціалу має таку властивість інваріантності: вона правильна навіть тоді, коли х та у є внутрішніми функціями від інших змінних.

Похідна складної функції

1) Якщо функція двох змінних , де , тобто аргументи u та v є внутрішніми функціями від змінних х та у то її частинні похідні шукаються за формулами:

Mожна показати це, використовуючи властивість інваріантності диференціалу

Приклад. , де ,

2)Якщо ф-ція , де , тобто u та v є внутрішніми функціями від змінної t, тоді z є складеною функцією від одної змінної t і її похідну шукають аналогічно за формулою.

Приклад. , де

Підставивши u та v отримаємо складну ф-цію , з якої важко взяти похідну. Треба логарифмувати. А за нашою формулою

(можна тепер підставити u та v) .

Похідна неявно заданої функції

1) Нехай функція однієї змінної y = y (x) задана неявно,

тобто рівнянням , де , де F – функція двох змінних.

Візьмемо диференціали з обох частин цього рівняння: dF = 0 і, оскільки, формула диференціалу правильна і тоді коли х чи у є внутрішніми функціями,

dF = F_x^’ dx + F_у^’ dy,

F_x^’dx + F_у^’dy = 0.

З цього рівняння знайдемо похідну:

^у’_x = тобто в чисельнику береться похідна з F по змінній, а в знаменнику похідна з F по функції

2) Нехай функція двох змінних z(x, y) задана неявно, тобто рівнянням

, де F (x, y, z) – функція трьох змінних.

Коли ми шукаємо z_x^’, то х – змінна, z – функція, а у – стала. Тому на

z’x =

Аналогічно, коли ми шукаємо z_y^’ , то у – змінна, z – функція і тоді:

	z’y =

Приклад.

^z’_x =

^z’_у =

Похідна в напрямку

z(M1) z z=f(x,y) z(M)     O M   M1

точки М (x, y) і напрямок руху в площині

Оху вектор = (). Позначимо вектор

Точка M₁ така, що приріст-вектор . Тоді , де -деяке число, вектор а точка M₁

має такі ж координати як вектор

Приріст функції в напрямку це

	z= z (M1) –z (M) = z (

Приріст аргументу буде прямувати до нуля, якщо t → 0.

= =

Фізичний зміст це швидкість зростання функції в даному напрямку.

Частинні похідні z^’_x та z^’_y – це похідні в напрямках осей О_х та О_у відповідно, тобто в напрямках .

Властивість похідної в напрямку. Похідна залежить тільки від напрямку і не залежить від довжини вектора :

(M) =

пр

Нагадування:

Доведення теореми. ,

= = .

Зауваження. Проекція вектора на вектор також не залежить від довжини

вектора, на який проектують.

Приклад. z = x⁴ + y⁴ + 2x³y , =(3,4) . Знайти в точці M (1; 2).

(M) = (16; 34)

= пр= = = .

Похідні вищих порядків

Нехай задана функція двох змінних z = f (x, y).

Її частинні похідні z^’_x та z^’_y є також функціями двох змінних х, у.

З них також можна брати частинні похідні.

(z^’_x)^’_х позначається z^’’_xx або , ((z^’_у)^’_у позначається z^’’_xу або .

(z_у)^’_х позначається z^’’_уx або .

(z^’_у)^’_у позначається z^’’_у² або .

Це будуть частинні похідні другого порядку для початкової функції. Їх є чотири і їх складають у матрицю – повну похідну другого порядку:

Приклад. z = x² sin y. Знайти похідні другого порядку і z^’’ в точці М (1; ).

^z‘_х = 2x sin y

^z’_у = х² cos y

^z‘’_х² = 2 sin y = 2 sin = 2

^{z ‘’}_хy = 2x cos y = 2 cos = 0

^z‘’_yx = 2x cos y = 2 cos = 0

^z‘’_y² = x² (-sin y) = 1 (-sin ) = - 1.

Похідні z^‘’_yx і z^‘’_хy називають змішаними похідними другого порядку.

Теорема. Якщо змішані похідні z^‘’_yx, z^‘’_хy існують і неперервні в деякому околі точки М, то вони рівні: z^‘’_yx =z^‘’_хy.

(Можна переконатись в справедливості теореми на попередньому прикладі.)

Дослідження на екстремум

Означення. Точка М_о (х_о, у_о) називається точкою максимуму (мінімуму) функції z = f (x, y) в області D, якщо для всіх точок М (х, у) із області D

f (х, у)f (x_o, y_o) (f (х, у)f (x_o, y_o)).

Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму. Якщо точка є екстремумом в деякому околі точки М_о то вона називається точкою локального екстремуму функції.

Теорема 1(необхідна умова локального екстремуму). Якщо М_о (х_о, у_о) є точкою локального екстремуму функції f (х, у) і існують z^‘_х і z^’_у то

вони рівні нулю, тобто виконується система рівнянь:

Доводиться аналогічно як для функції однієї змінної.

Теорема 2 (достатня умова локального екстремуму).

Якщо в точці М_о (х_о, у_о) частинні похідні І-го порядку рівні нулю:,

то шукають повну похідну другого порядку матрицю z^’’ (M_o) і її визначник

det z^’’(М_о) і можливі три випадки:

1) det z^’’ (М_о) < 0, то немає екстремуму в цій точці.

2) det z^’’ (М_о) > 0, то М_о є точкою екстремуму: мінімум, якщо z^‘’_х² (М_о) > 0 і максимум, якщо z^‘’_х² (М_о) < 0.

3) det z^’’(М_о) = 0, то екстремум може бути або не бути, потрібні додаткові дослідження.

Приклад. z = (x – 1)² + 2y². Дослідити на екстремум.

х = 1, у = 0 М_о (1, 0) – критична точка.

z^‘’_х² = 2

z^‘’_хy = 2

z^‘’_хy = 0

z^‘’_хy = 0 z^’’ =

z^‘’_у² = 4 det z^’’ = 8 – 0 = 8 > 0. Отже, є екстремум в точці (1; 0).

z^‘’_х² = 2 > 0, тобто є min, z_min = z (1; 0) = 0 + 0= 0.

Дослідження функції двох змінних на найбільше і найменше значення в закритій області

а) Шукають критичні точки, які входять в область і, в яких z^‘_х і z^’_у дорівнюють нулю або не існують.

б) Шукають критичні точки на межі області. Якщо треба, розбивають її на

різні криві. На кожній кривій функція z стає функцією однієї змінної (якщо з рівняння кривої виразити одну змінну через іншу і підставити знайдений вираз у формулу функції z).

в) Обчислюють значення функції z в усіх знайдених критичних точках і в точках, де з’єднуються криві і вибирають з них найбільше та найменше значення.

Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції z = x² + y² - xy +x+ y в області D, обмеженій лініями x=0, y=0, x+y+3=0.

Зобразимо область D. Це трикутник у третій координатній чверті.

М(-1;-1) є D.

,

,

A -3 M1 B M2 M M3 -3 C

Добавимо ще точки А(-3;0), В(0;0), С(0;-3).

z(M)=z(-1;-1)=1+1-1-1-1=-1 -- найменше значення z

z(M₁)=z(-1/2;0)=1/4-1/2=-1/4 z(M₂)=-1/4

z(M₃)=9/4+9/4-9/4-3/2-3/2=-3/4

z(A)=z(C)=z(-3;0)=9-3=6 -- найбільше значення z

z(B)=z(0;0)=0.