Доказательство.

Циклические группы.

Пусть G – группа, g Î G. Будем считать по определению, что для nÎ Z g ⁿ = при n Î N, g ⁿ = e, при n = 0, g ⁿ = (g ^-n) ^-1 при -nÎN.

Упражнение. Доказать, что g ⁿg ^m = g ^n+m, (g ⁿ)^-1= g ^-n " n,

m Î Z.

Определение. Циклической подгруппой элемента g называется ³⁾наименьшая ¹⁾подгруппа в G, ²⁾содержащая эле-

мент g.

Обозначать циклическую подгруппу элемента g мы будем <g>. Элемент g называется образующим элементом циклической группы <g>.

Пусть В = {g ⁿ | п Î Z}.

Утверждение.В = <g>.

0. Рассмотрим некоторую подгруппу А Í G такую, что gÎ A. Очевидно, g×g = g ² Î A, g× g ² = g ³Î A,…, g ^пÎ A "п Î Nи "п Î Z.

1. Пусть g ^s, g ^tÎ В Þ g ^sg ^t = g ^s+tÎВ, (g ^s)^-1= g ^-sÎВ, e = g ⁰Î В Þ В – подгруппа в G.

2. g = g ¹Î В.

3. Если подгруппа А' g , то А Ê В (из п.0) Þ В – наименьшая подгруппа, содержащая элемент g Þ В = <g>.

Рассмотрим циклическую группу <g> = {g ⁿ | п Î Z }.

Возможны два случая:

1. Все элементы g ⁿ - различны. Тогда |<g>| = ¥, <g> - бесконечная циклическая группа.

2. Существуют m ¹ n такие, что g ^т = g ⁿ. Можно считать, что т > n. Тогда g ^т-п = e, т – п Î N. Пусть d – наименьшее натуральное число такое, что g ^d = e. Тогда d называется порядком элемента g: пор.g = d (в случае 1 пор.g =¥). Пусть пор.g = d < ¥. В этом случае, если п Î Z, то, разделив п на d с остатком, получим: п = dq + r, 0 £ r < d, и

g ⁿ = g ^dq+r = (g ^d)^qg ^r =e g ^r = g ^r Þ <g> = {g ^r | r = 0,1,…,d-1} Þ |<g>| = d - порядок циклической группы равен порядку образующего элемента этой группы.

Следствие.g ⁿ = e Û d | n .