Розділ 2
Похідна функції та її застосування
§ 12 Приріст функції в точці. Похідна функції та її механічний зміст
Поняття похідної – фундаментальне поняття математичного аналізу, за допомогою якого досліджують процеси і явища в природничих, соціальних і економічних науках. Вивчення різних процесів (механічного руху, хімічних реакцій, розширення рідини при нагріванні, значення електричного струму та ін.) приводять до необхідності обчислення швидкості зміни різних величин, тобто до поняття похідної.
Нехай задано функцію 
на деякому проміжку. Візьмемо довільну внутрішню точку 
даного проміжку, надамо аргументу 
довільного приросту 
(число 
може бути як додатним, так і від’ємним), але такого, щоб точка 
належала даному проміжку, тоді приростом функції називається різниця 
.
Похідноюфункції 
в точці 
називається границя відношення приросту функції в цій точці до приросту аргументу при умові, що приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує, тобто
.
Щоб знайти похідну функції 
за означенням треба:
1) незалежній змінній 
надати приросту 
;
2) знайти приріст функції - 
;
3) знайти відношення 
;
4) знайти 
.
Приклад 1.Знайти похідну функції 
в точці 
.
Розв’язання
1) незалежній змінній 
надаємо приросту 
;
2) знаходимо приріст функції 
3) знаходимо відношення 
4) знаходимо границю 
Таким чином 
, а 
.
Відповідь: 12
Приклад 2.Знайти похідну функції 
.
Розв’язання
1) незалежній змінній 
надаємо приросту 
;
2) знаходимо приріст функції 
3) знаходимо відношення 
4) знаходимо границю 
Відповідь: 
.
Якщо матеріальна точка рухається прямолінійно, нерівномірно і її координата змінюється за законом 
, то миттєва швидкість цієї точки в момент часу 
дорівнює похідній 
:
.
В цьому полягає механічний (фізичний) зміст похідної.
67.Знайдіть приріст функції 
в точці 
, якщо задано приріст аргументу 
:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
68.Знайдіть 
, якщо:
1) 
; 2) 
.
69.Користуючись означенням похідної, знайдіть похідну функції 
, якщо:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
;
11) 
; 12) 
.
70.Точка рухається за законом 
(м). Знайдіть швидкість руху точки в момент часу 
с.
71. Знайдіть миттєву швидкість руху точки, якщо:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
72.Точка рухається прямолінійно за законом 
( 
- шлях в метрах, 
- час в секундах). Обчисліть швидкість руху точки:
1) в момент часу 
; 2) в момент часу 
с.
73.Рух точки відбувається за законом 
. З’ясуйте, у який момент часу швидкість руху дорівнює: 1) 0; 2) 10?
до змісту