Розв’язання тригонометричних рівнянь
Розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь
Рівняння називаються тригонометричними, якщо невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій. Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння , , , . Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння – означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення тригонометричної функції.
Розглянемо розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь:
55.Розв’яжіть рівняння:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) .
56.Розв’яжіть рівняння:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
57.Розв’яжіть рівняння:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16) ;
17) ; 18) ;
19) ; 20) .
58.Розв’яжіть рівняння:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) ; 14)
до змісту
Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.
Деякі тригонометричні рівняння шляхом тотожних перетворень можна привести до рівняння з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і привести рівняння до квадратного.
Приклад 1.Розв’язати рівняння .
Розв’язання
Нехай , тоді .
Звідси , .
Оскільки , то , .
Оскільки , то , .
Відповідь: ; ; .
Приклад 2.Розв’язати рівняння .
Розв’язання
Замінивши на , матимемо:
Нехай , тоді .
Звідси , .
Оскільки , то рівняння розв’язків немає.
Оскільки , то ,
Отже
Відповідь:
Приклад 3.Розв’язати рівняння ,
Розв’язання
, .
Нехай , тоді , , .
Маємо: 1) , .
2) , .
Відповідь: .
59.Розв’яжіть рівняння:
1) , 2) ,
3) , 4) ,
5) , 6) ,
7) , 8) ,
9) , 10) ,
11) , 12) .
13) , 14) ,
15) , 16) .
Багато тригонометричних рівнянь, права частина яких дорівнює 0, розв’язуються розкладанням їхньої лівої частини на множники.
Приклад 1.Розв’язати рівняння .
Розв’язання
Врахувавши, що , матимемо:
Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Тому:
1) .
2) .
Відповідь: .
Приклад 2.Розв’язати рівняння .
Розв’язання
;
.
1) .
2) .
Відповідь: .
60.Розв’яжіть рівняння:
1) , 2) ,
3) , 4) ,
5) , 6) ,
7) , 8) ,
9) , 10) ,
11) , 12) ,
13) , 14) ,
15) , 16) .
Рівняння виду , де і не дорівнюють нулю, називається однорідним рівнянням 1-го степеня.
Значення , при яких дорівнює нулю, не задовольняє даному рівнянню, бо тоді і теж дорівнював би нулю. Тому можна розділити обидві частини рівняння на . Маємо:
Рівняння виду: називається однорідним рівнянням 2-го степеня.
Якщо числа не дорівнюють нулю, то розділимо дане рівняння на (або на ). У даному рівнянні , бо в супротивному випадку теж дорівнював би нулю. Тоді
61.Розв’яжіть рівняння:
1) , 2) ,
3) , 4) ,
5) , 6) ,
7) , 8)
9) , 10) ,
11) , 12) ,
13) , 14) .
62.Розв’яжіть рівняння
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) .
до змісту
§ 11 Розв’язання тригонометричних нерівностей
Тригонометричними нерівностями називаються нерівності, у яких змінна знаходиться під знаком тригонометричної функції.
Рис. 6
Таблиця 3
Розв’язків немає | |||
Розв’язків немає |
Рис. 7
Таблиця 4
Розв’язків немає | |||
Розв’язків немає |
Таблиця 5
63.Розв’яжіть нерівність:
1) , 2) ,
3) , 4) ,
5) , 6) ,
7) , 8) ,
9) , 10) ,
11) , 12) ,
13) , 14) ,
15) , 16) .
64.Розв’яжіть нерівність:
1) , 2) ,
3) , 4) ,
5) , 6) ,
7) , 8) ,
9) , 10) ,
11) , 12) .
65.Розв’яжіть нерівність:
1) , 2) ,
3) , 4) ,
5) , 6) ,
7) , 8) .
66.Розв’яжіть нерівність:
1) , 2) ,
3) , 4) ,
5) , 6) ,
7) , 8) .
до змісту