Розв’язання тригонометричних рівнянь

Розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь

Рівняння називаються тригонометричними, якщо невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій. Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння , , , . Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння – означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення тригонометричної функції.

Розглянемо розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь:

55.Розв’яжіть рівняння:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) .

56.Розв’яжіть рівняння:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

57.Розв’яжіть рівняння:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) .

58.Розв’яжіть рівняння:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14)

до змісту

Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.

Деякі тригонометричні рівняння шляхом тотожних перетворень можна привести до рівняння з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і привести рівняння до квадратного.

Приклад 1.Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Нехай , тоді .

Звідси , .

Оскільки , то , .

Відповідь: ; ; .

Приклад 2.Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Замінивши на , матимемо:

Нехай , тоді .

Звідси , .

Оскільки , то рівняння розв’язків немає.

Оскільки , то ,

Отже

Відповідь:

Приклад 3.Розв’язати рівняння ,

Розв’язання

, .

Нехай , тоді , , .

Маємо: 1) , .

2) , .

Відповідь: .

59.Розв’яжіть рівняння:

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) , 8) ,

9) , 10) ,

11) , 12) .

13) , 14) ,

15) , 16) .

Багато тригонометричних рівнянь, права частина яких дорівнює 0, розв’язуються розкладанням їхньої лівої частини на множники.

Приклад 1.Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Врахувавши, що , матимемо:

Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Тому:

1) .

2) .

Відповідь: .

Приклад 2.Розв’язати рівняння .

Розв’язання

;

1) .

2) .

Відповідь: .

60.Розв’яжіть рівняння:

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) , 8) ,

9) , 10) ,

11) , 12) ,

13) , 14) ,

15) , 16) .

Рівняння виду , де і не дорівнюють нулю, називається однорідним рівнянням 1-го степеня.

Значення , при яких дорівнює нулю, не задовольняє даному рівнянню, бо тоді і теж дорівнював би нулю. Тому можна розділити обидві частини рівняння на . Маємо: