Рівняння з відокремлюваними змінними

Диференціальне рівняння вигляду

, (13.1)

де - відомі неперервні функції, називається рівнянням з відокремленими змінними.

З (1) маємо рівність двох диференціалів , невизначені інтеграли від яких відрізняються на постійний доданок, тому

. (13.2)

Рівняння (2) є загальним інтегралом диференціального рівняння (1).

Диференціальне рівняння вигляду

, (13.3)

де - відомі неперервні функції, називається рівнянням з відокремлюваними змінними.

За умови це рівняння зводиться до (13.1) шляхом ділення його на добуток :

,

звідки дістають загальний інтеграл рівняння (13.3)

.

Рівняння доцільно дослідити окремо (ці рівняння можуть визначати особливі розв’язки рівняння (13.3).

Диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними, що розв’язане відносно похідної, має вигляд:

, (13.4)

де - відомі неперервні функції. Якщо , то загальним інтегралом рівняння (13.4) буде

.

Рівняння досліджується окремо.

Приклад 3. Розв’язати диференціальне рівняння .

Задане рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними, тому поділимо його на , вважаючи, що : .

Інтегруємо одержане рівняння:

, , ,

.

Останнє співвідношення є загальним інтегралом диференціального рівняння. В ньому містяться частинні розв’язки (при ), втрачені внаслідок відокремлення змінних.

Приклад 4.Розв’язати диференціальне рівняння .

Зведемо рівняння до вигляду (13.3)

; .

Останнє рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними, ділимо його на , вважаючи :

.

Інтегруємо одержане рівняння з відокремленими змінними

; .

Загальний інтеграл одержано за умови . Легко перевірити, що є особливим розв’язком рівняння (перетворює рівняння у тотожність, але не міститься у загальному інтегралі), а - не є розв’язком рівняння.