Лекция 32. Признаки обратимости операторов. Теорема Рисса об общем виде линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространсчве. Теорема Хана-Банаха.

Утверждение 32.1 Если есть X, Y, Z – банаховы пространства, L(X,Y), L(Y,Z) - обратимые. Тогда оператор (X,Z) обратим и

Док-во:

явл. правым обратимым к .

– левый обратный .

Ч.т.д.

Утверждение 32.2 Пусть X, Y – банаховы пространства, L(X,Y), А – обратим; . Тогда оператор В тоже обратим.

Док-во:

и =>– обратим.

А – обратим В – обратим.

Оценки

1⁰.

=>

2⁰.. Ч.т.д.

Замечание: Неравенство заведомо выполн., если выполн. .

Это означ., что в L(X,Y) мн-во всех обратимых операторов явл. открытым, т.к. каждый оператор, попавший в шар В(А, ) сост. из обратимых операторов.

Замечание: Если А обратим, в L(X,Y), тогда начиная с N В(А, )=> все -обратимы =>

=> операция нахождения обратного оператора явл. непрерывной.

Утверждение 32.3 Пусть Н – гильбертово прост-во, L(Н), - ортонормир. базис прост-ва Н, сост.из собств. вект. оператора А, отвеч. соотв. собств. знач. λ_k, т.е. выполн. А=λ_k

A обратим <=> .

Док-во:

необходимость: Утв.31.2. => если А обратим, то

Пусть , тогда .. Ч.т.д.

достаточность:Ax=y

, где = <y,>

,

.

(т.к. y)

A- обратим.

. Ч.т.д.

Опр.32.4 Пусть (Х,) – нормир. прост-во, тогда L(X,K) наз. сопряж. к X прост-вом и обозн. X*.

Т 32.5 (Риса) Пусть Н - гильб. прост-во, тогда Н* изометрично Н. (Н*Н), т.е. – лин.огр. .

Док-во:

единственность:

Пусть => .

Докажем, что если , то

=> f огр. .

=> .

сушествование:

Рассм. L=Ker f(x)= - векторное подпр-во Н.

Докажем, что Lзамкн.

- предельн. т. L.

L, .