СВОЙСТВА АБСОЛЮТНО ИЛИ УСЛОВНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Теорема(Коши). Если данный ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из данного ряда посредством некоторой перестановки членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и данный ряд.

Теорема (Римана). Если ряд сходится условно, то каково бы ни было наперед взятое число А, можно так переставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд сходился к числу А.

Замечание. Свойство теоремы Римана связано с перестановкой бесконечного числа членов. Перестановка любого конечного числа членов не влияет ни на сходимость ряда, ни на его сумму.

Пример. Ряд

(3)

сходится условно к сумме . Переставим члены ряда (3):

Полученный знакочередующийся ряд совпадает с рядом

который сходится к сумме , так как получается из ряда (3) умножением на .

Абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать.