Ряды с положительными членами.
Рассмотрим числовой ряд 
,
где 
для такого ряда 
. Значит, последовательность частичных сумм возрастает.
Из теоремы о пределе монотонной последовательности можно сформулировать условие сходимости ряда с положительными членами.
Ряд с положительными членами всегда имеет сумму и эта сумма конечна, а ряд будет сходящимся, если частичные суммы ряда ограничены сверху, и бесконечна, а ряд расходящимся в противном случае.
Теоремы сравнения положительных рядов.
Пусть даны два положительных ряда: 
и 
.
Теорема 1.Если выполняется неравенство: 
, начиная с некоторого n, то из сходимости ряда второго (большего) ряда - следует сходимость первого (меньшего) ряда. А из расходимости ряда меньшего ряда следует расходимость ряда большего.
Доказательство:
Так как отбрасывание конечного числа начальных членов ряда не влияет на сходимость, можно считать, что 
Для частичных сумм этих рядов выполняется 
Пусть ряд 
сходится, тогда 
и тем более 
значит ряд 
- сходится.
Пусть 
расходится, тогда 
, значит 
и ряд 
расходится.
Теорема 2. Если существует конечный предел отношения общих членов двух рядов 
, 
, то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
Примеры. Исследуйте на сходимость следующие ряды
1) 
сравним члены этого ряда с членами расходящегося гармонического ряда 
, так как 
, исследуемый ряд расходится.
2) Ряд 
сходится по теореме сравнения, так как предел отношения общего члена данного ряда к общему члену сходящегося (доказанный ранее) ряда 
есть 
, постоянное число.
3)
Сравним этот ряд с рядом 
, который представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем 
, следовательно, сходится.
Так как 
исследуемый ряд сходится.
4) Ряд 
сравним с рядом 
, который является расходящимся рядом. 
с учетом того, что 
.
Приведем полученные о сходимости некоторых рядов, которые могут быть использованы для сравнения:
1. 
2. 
3. 
4. 
Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами.
Признак Даламбера.
Теорема. Рассмотрим ряд 
с положительными членами и предел отношения последующего члена ряда к предыдущему.
1) Если 
2) существует 
, тогда 
Доказательство:
то есть 
.
Рассмотрим 3 случая:
1) 
Выберем 
столь малым, чтобы значение 
тогда, полагая 
, при значении 
имеем 
для 
.
и так далее.
Члены ряда 
меньше членов геометрической прогрессии: 
Так как 
, то ряд (2) сходится, значит, по теореме сравнения сходится и ряд (1).
2) 
Возьмем 
столь малым, что 
тогда при 
члены ряда не
не выполняется необходимый признак сходимости 
ряд расходится.
3) 
Покажем, что в этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться.
1) гармонический ряд расходится, для него 
2) Рассмотрим ряд 
Для него 
Сравним члены исследуемого ряда со сходящимся рядом 
(доказано ранее). 
Значит, 
сходится.