Повторные пределы

Следствие.

Монотонная на интервале функция имеет конечный предел как справа, так и слева в каждой внутренней точке этого интервала.

Доказательство.

Пусть функция не убывает на . Тогда для будем иметь:

, где т. , т. - произвольные точки из указанных промежутков. Согласно доказанной теореме , , причем

, т.е. и конечны.

В данном параграфе рассмотрим числовую функцию векторного аргумента или функцию многих переменных:

.

Для таких функций наряду с введенным ранее понятием предела (при одновременном стремлении всех аргументов к их предельным значениям) могут существовать пределы другого рода, получаемые в результате ряда последовательных предельных переходов по каждому аргументу в отдельности в том или ином порядке. Пределы такого рода будем называть повторными.

Рассмотрим функцию 2-х переменных . Пусть эта функция определена в некоторой прямоугольной окрестности точки : , за исключением, может быть, самой этой точки. Если при всяком фиксированном из промежутка существует конечный предел и, кроме того существует , то такой предел называется повторным пределом и обозначается . Аналогично определяется повторный предел .

Примеры.

1) . Не существует , что легко устанавливается с использованием определения Гейне:

, ;

, .

Повторные пределы существуют и равны: ==0.

2) . Не существует − доказывается по определению Гейне. Достаточно взять , где , тогда и зависит от значения .

Повторные пределы существуют, но не равны между собой:

, .

3) . по леммам о бесконечно малых (- б.м. при , а - ограниченные функции). Однако повторные пределы не существуют, ибо не существуют , .

Эти примеры показывают, что повторные пределы не всегда равны, а поэтому не всегда возможна перестановка предельных переходов. Для обоснования этой возможности рассмотрим теорему.

Теорема. Если 1) существует (- конечное или ); 2) при существует конечный ;

то существует повторный предел, равный двойному:

.

Доказательство.

Пусть – конечно. Согласно определению Коши предела функции для такое, что для

.

Фиксируем из проколотой -окрестности и в неравенстве переходим к пределу при : (используем условие 2) данной теоремы и теорему о предельном переходе в неравенстве). Согласно определению предела по Коши .