Оптимального обсягу виробництва

Зазначену задачу розглянемо як приклад, з якого буде видно, наскільки важливе дослідження функцій для прийняття оптимальних рішень.

Аби одержати максимальний прибуток, фірма має випускати продукцію обсягом , так щоб значення було максимальним. Практично обсяг продукції , де - це верхня межа обсягу продукції, який може випускати фірма. Математично задача зводиться до знаходження максимуму функції прибутку на відрізку . Оскільки теоретично функція прибутку може досягати максимального значення й на кінцях проміжку при і , то обидві ці ситуації, коли фірма не випускає нічого або випускає продукцію на межі своїх виробничих можливостей , є крайніми. Зараз ми не розглядатимемо їх і припустимо, що функція прибутку досягає максимуму в точці Отже, нехай виконуються такі умови:

1) функції і визначені й диференційовні на відрізку ;

2) функція прибутку досягає максимуму в деякій точці і

У випадку, коли максимум прибутку , умова природно виконується, оскільки (немає випуску – немає доходу, немає доходу – немає прибутку).

Якщо виконуються обидві умови, то функція диференційована й на відрізку має максимум у точці Тоді за теоремою Ферма Оскільки , то в точці дістаємо рівність

(3)

Пригадавши, що похідна функції витрат виражає граничні витрати, а похідна - граничний доход, то, використовуючи цю термінологію, дістанемо базовий економічний принцип: оптимальний продуктивний рівень фірма досягає, коли граничний річний доход дорівнює граничним витратам.

У випадку, коли обсяг виробництва не впливає на ціну продукції , маємо , . Рівність (3) набирає вигляду

(4)

Приклад .Знайдемо оптимальний обсяг продукції фірми, якщо відомі ціна одиниці продукції p=15 грош. од. і функція витрат

Запишемо функцію прибутку фірми вразі виробництва одиниць продукції:

.

Очевидно, , якщо . Оскільки - неперервна функція, то на відрізку , у деякій точці , вона набуває свого найбільшого значення. Оскільки при , то - найбільше значення при будь-якому . Використовуючи рівність (4), дістанемо

.

Звідси

Оскільки фірма намагається одержати максимальний прибуток, то вона випускатиме дві одиниці продукції. Фактично ми з’ясували, що за ціни =15 грош. од. фірмі вигідно випускати для продажу дві одиниці продукції.

Оскільки річний доход і прибуток фірми залежать від її місця на ринку, то слід розглянути випадок монополії, коли фірма постачає повний обсяг продукції під реалізацію. В цій ситуації ціна визначається функцією попиту. Інакше кажучи, ціна товару, за якою споживачі купують його, залежить від попиту , де - стала. Якщо відома функція ціни , то функція прибутку , й необхідною умовою її максимуму є , яку можна записати у вигляді

. (5)

У кожному окремому випадкові рівність (5) можна використовувати для знаходження максимуму функції прибутку, але слід зауважити, що не всі критичні точки функції прибутку , де , є максимальними, оскільки умова (5) є необхідною, але не достатньою.

Розглянемо тепер загальніший випадок, коли ціна продукції є диференційованою функцією від обсягу випуску продукції .

Обчислимо похідну функції доходу фірми

Тоді рівність (3) запишемо у вигляді , звідки дістанемо рівняння для ціни (6)

Оскільки , то з рівності (6) випливає, що ціна не нижча від граничних витрат Насправді, якщо фірма займає суттєву частку ринку, то збільшення її випуску спричиняє насичення ринку й падіння ціни. В цьому разі і з рівності (6) випливає, що ціна більша за граничні витрати .