Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Лекция 30.

Подкорковая теория сна Р.Гесса.

В середине 20 столетия Р.Гесс в гипоталамической области промежу-точного мозга нервные центры, раздражение которых вызывала сон у кошек. Р.Гесс предположил, что в этой области находится «центр сна». Эта гипотеза в дальнейшем получила дополнительное экспериментальное подтверждение.

Однако, ни одна из вышеназванных теорий в отдельности не может объяснить все проявления сна. Поэтому современная теория учитывает все перечисленные взгляды и рассматривает сон, как системное явление, в происхождении которого играют важную роль как нервные, так и гуморальные механизмы. При этом в возникновении сна принимают различные уровни центральной нервной системы: ретикулярная формация ствола мозга, «центр сна» промежуточного мозга, кора больших полушарий.

Предположим, что f(x) – нечётная 2- периодическая функция. В этом случае f(x)cos(nx) – чётная функция, поскольку f(-x)cos(-nx)=f(x)cos(nx), a f(x)sin(nx) – нечётная функция, так как f(-x)sin(-nx)= - f(x)sin(nx). Поэтому коэффициент ряда Фурье , равны:

(n=0,1,…),

(n=1,2,…).

Следовательно, ряд Фурье чётной функции содержит только косинусы, т.е.

.

Аналогично, если f(x) – нечётная функция, то f(x)cos(nx) – нечётная, а f(x)sin(nx) – чётная функция.

Поэтому (n=0,1,…),

(n=1,2,…).

Следовательно, ряд Фурье нечётной функции содержит только синусы, т.е.

.

Пример 30.1.

Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом 2функцию, заданную на отрезке равенством f(x)=½х½.

Данная функция является чётной (Рис.28.1), поэтому её ряд Фурье содержит только косинусы. Вычисляем коэффициенты этого ряда:

Следовательно, .

Рис.30.1.

Разложение функций в ряд Фурье на отрезке [0,π]

Пусть f(x) определена на отрезке . Для того, чтобы функцию f(x) разложить в ряд Фурье на этом отрезке, доопределим эту функцию произвольным образом на отрезке . Таким образом, получаем функцию, которая уже определена на отрезке .

Рассмотрим два случая:

1) Функцию f(x), заданную на , продолжим на отрезок так, чтобы вновь

полученная функция f₁(x) была чётной:

2) В таком случае говорят, что f(x) продолжена на чётным образом

Рис.30.2.

Поскольку f₁(x) – чётная на функция, то её ряд Фурье содержит только косинусы:

Поскольку на отрезке имеет место равенство f₁(x) = f(x), то ряд Фурье для функции f₁(x) будет и рядом Фурье для f(x) на

Рис.30.3.

Функцию f(x), заданную на , продолжим на отрезок нечётным образом (Рис.28.3):

Поскольку f₂(x) – нечётная на функция, то её ряд Фурье содержит только синусы:

Так как f₂(x)= f(x) при то полученный ряд Фурье для f₂(x) и будет рядом Фурье для f(x) на .

Пример 30.2.

Функцию f(x)=x, определённую на отрезке , разложить в ряд Фурье:

1)по косинусам;

2)по синусам.

1) Функцию f(x) продолжим на чётным образом (рис.28.4.) – составим новую функцию f₁(x) по формуле

Рис.30.4

Вычисляем коэффициенты Фурье для этой функции: ;

Итак,

,

1) Функцию f(x) продолжим на нечётным образом составим новую функцию по формуле .

Вычислим коэффициенты Фурье для этой функции:

Итак, .

Ряд Фурье для функций с периодом 2ℓ

Пусть f(x) – периодичная с периодом функция, которая на отрезке удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Разложим её на этом отрезке в ряд Фурье.

Обозначим . Тогда

Функция - уже - периодическая функция, так как

.

Функцию разложим в ряд Фурье на отрезке

.

Коэффициенты этого ряда вычисляются по формулам: …,

Возвращаясь к прежней переменной х, из равенства имеем .

Тогда ряд

можно представить в виде

В интегралах и

произведём замену переменной:

n=0,1,…

Аналогично, n=1,2,…

Если f(x) – чётная на функция, то b_n=0 (n=1,2,…) n=0,1,…

Ряд Фурье такой функции имеет вид:

Если f(x) – нечётная на функция, то a_n=0 (n=0,1,2,…), n=1,2,…,

а сам ряд Фурье имеет вид:

Пример 30.3.

Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом Т=2 функцию f(x), заданную формулой

Эта функция на отрезке удовлетворяет условиям теоремы Дирихле.

Вычисляем коэффициенты Фурье:

Подставляем эти значения коэффициентов в формулу

и получаем ряд Фурье для данной Функции:

Сумма этого ряда в точках x=±1,±3,… равна .