Формула Грина.

Установим связь между двойным интегралом по некоторой плоской области и криволинейным интегралом по границе этой области.

Пусть в правильная область ограничена кривой . На область проектируется на , причем сверху она ограничивается кривой , а снизу .

Пусть функция и , имеющие частные произвольные, непрерывны в .

Рассмотрим интеграл:

Итак, (7)

Аналогично, получаем (8)

Вычтем из (7) (8), получим:

Формула Грина

(если обход совершается по ходу часовой стрелки)

Формула Грина

(если обход совершается против хода часовой стрелки)

(Здесь )

Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Пусть и вместе со своими частными производными- непрерывны в области . Рассмотрим две кривые и , соединяющие точки и . Пусть

или

Тогда на основании свойств и криволинейных интегралов:

Вывод

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру равен 0.

Но возникает вопрос: каким условиям должны удовлетворять функции и для того, чтобы криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру был равен 0.

Теорема:

Пусть функции и и их частные производные и - непрерывны в области . Тогда для того, чтобы

Доказательство:

1Достаточность

2Неоходимость. Допустим, что выполняется , но не выполняется .

Пусть в некоторой точке выполняется

Тогда . Но по формуле Грина левая часть непрерывна по границе области должна равняться 0. Следовательно, предположения, что - неверно и

Выполнение условия равносильно тому, что выражения есть полный дифференциал некоторой функции .